1.2 一定是直角三角形吗（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（北师大版）

1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 优翼数学教学课件（BS）八上 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处. 导入新课 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 新课讲授 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB， 在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA， 连接 A1B1. 在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2. ∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS). ∴∠C =∠C1 = 90°. ∴△ABC 是直角三角形. a c b A C B b C1 M N B1 A1 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角. 特别说明： 归纳总结 典例精析 例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形， ∠A 是直角. D A C 4 3 5 13 12 B 例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角. (2) a = 13，b = 14，c = 15； 解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. (3) a∶b∶c = 3∶4∶5. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k. 因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2， 所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角. 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 变式1：已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问