21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 人教版九年级上册第二十一章《一元二次方程》 学习目标 1、了解一元二次方程的根与系数的关系。 2、会用一元二次方程的根与系数的关系解决相关的问题。 3、提高学生的运算能力和抽象能力、增加学生的应用意识。 回顾旧知 ２、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为： 其中根的判别式是∆＝b2-4ac 两个实数根可写为： 1、一元二次方程的一般形式为： ax2+bx+c=0(a≠0) 其中二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c 探究两根x1、x2的和、积与a、b、c的关系： 探究新知 探究新知 归纳新知 一元二次方程根与系数的关系： 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1，x2，则 两根和x1＋x2＝ ；两根积x1·x2＝ . 该关系使用的前提条件是____________. Δ＝b2-4ac≥0 应用新知 例1、若x1，x2是关于x的一元二次方程x2—6x－15=0的两个实数根，则 解：a=____,　b=______,　c=______ x1+x2＝_______=_____________ x1∙x2＝_______=_______ １ －6 －15 6 －15 应用新知 2、（课本例题）　根据一元二次方程的根与系数的关系，求方程3x2+7x-9=0的两个根x1、x2的和与积。 解：a=_____, b=_____, c=______ 3 7 -9 应用新知 3、若x1，x2是方程x2＋3x＝1的两个根，求x1＋x2与x1·x2的值． 思考：要找a、b、c需要先干嘛？ 解：方程化为一般形式为x2＋3x—1＝0 a=1，b=3，c=－1 求x1＋x2－x1·x2的值． ∴x1＋x2－x1·x2 ＝－3－(－1) =－3+1 =－2 巩固新知 4、已知关于x的方程x2+kx－3=0，若该方程的一个根为1，求k的值及方程的另一个根。 解：设方程的另一个根为x2，则 1∙x2=－3 1+x2=－k 解得 x2＝－3 k＝2 答：k的值为2，方程的另一个根为－3 巩固新知 5、若x1、x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，求下列各式的值： （1）x12+x22 解：∵a=2，b=4，c=-3 ∴x1+x2=-2 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 看到这个式子要想到什么公式？能与x1+x2 x1　x2 ∙ √ 巩固新知 5、若x1、x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，求下列各式的值： 这个式子要如何变形才能与x1+x2、x1　x2 ∙ 通分 解：由（1）可知 　x1+x2=-2，　 巩固练习 6、如果关于x的方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，那么 x1+x2=____, x1∙x2=______ 请根据这一结论，解决下列问题： （1）若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则x1+x2=___；x1∙x2=___. （2）若2和3是方程x2+px+q=0的两个根，则p=_____，q=_____ (x+m)(x+n) =x2+(m+n)x+m∙n x1=-m, x2=-n -p q 2 -3 -5 6 课堂小结 　1、一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理） 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1，x2，则有 2、掌握以下代数式的变形 巩固练习 2、若3和5是方程x2+px+q=0的两个根， 则p=_____，q=_____ -8 15 1、如果方程x2+7x+6=0的两个根为x1,x2，那么 x1+x2=____, x1x2=____ -7 6 ３、根据一元二次方程的根与系数的关系，求方程5x-1=4x2的两个根x1、x2的和与积。 解：方程化为一般形式为　4x2—5x+1=0 a=4, b=－5, c=1 巩固练习 巩固练习 4、已知　　　是方程x2-4x+c=0的一个根，则该 方程的另一个根是_______, c=______　 1 变式练习 已知方程x2-kx-4=0的两个根为x1,x2，若方程的两 个根互为相反数，则k=____，方程的根为______ 0 ±2 巩固练习 5、已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x+m2=0有实数根 （1）求m的取值范围 （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=2－x1x2，求m的值。 解：(1) a=1, b=－(2m－1), c= m2 ∵方程有实数根 ∴∆≥0 巩固练习 解：（2）由韦达定理，得 5、已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x+m2=0有实数根 （1）