3.4.2 相似三角形的性质（课件PPT）-【学海风暴】2023-2024学年九年级上册初三数学（湘教版）

第3章 图形的相似 九年级数学湘教版·上册 3.4.2.1相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 授课人：XXXX 1 教学目标 1.明确相似三角形中对应高、角平分线、中线的比与相似比的关系.（重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 新课导入 A C B A1 C1 B1 问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？ 新知探究 A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. △ABC∽ △A1B1C1 新知探究 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 新知探究 A C B D ∟ A1 C1 B1 D1 ∟ 1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道 比值是多少吗？ 2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢？ 3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢？ A C B D A 1 C1 B1 D1 新知探究 量一量，猜一猜 D1 A 1 C1 B1 ∟ A C B D ∟ △ABC ∽ △A1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们的高, 你知道 等于多少吗？ 新知探究 相似三角形对应高的比等于相似比 证明: ∵△ A′B′C′∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ∠A′D′B′ =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD (两角对应相等的两个三角形相似). 从而 (相似三角形的对应边成比例). 问题：如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′． 求证： 知识归纳 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 新知探究 例1：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，已知CD=2,AB=6，AC=4，求DE的长. A E B C D 解: 在Rt△ABC与Rt△ACD中， ∴ △ABC∽△ACD. ∵ CD=2, AB=6，AC=4， ∵ ∠A=∠A, ∠ACB= ∠ADC=90°, 巩固练习 如图,电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 新知探究 例2：如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （1）AE是△ ASR的高吗？为什么？ （2） △ASR与△ABC相似吗？为什么？ （3）求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A 新知探究 （1）AE是△ASR的高吗？为什么？ 解： AE是△ASR的高. 理由如下： ∵AD是△ABC的高， ∴ ∠ADC=90 °.， ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR ∥BC ∴∠AER=∠ADC=90 °， ∴ AE是△ASR的高. S R Q P E D C B A BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. 新知探究 BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） △ASR与△ABC相似吗？为什么？ 解：△ASR与△ABC相似 . 理由如下: ∵ SR∥BC， ∴ △ASR∽△ABC. S R Q P E D C B A 新知探究 BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （3）求正方形PQRS的边长. 是方程思想哦！ 解：∵ △ASR ∽ △ABC AE、AD分别是△ASR 和△ABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为xcm, 则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24cm. S R Q P E D C B A 新知探究 变式一： 如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 新知探究 如图，AD是△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm. 设SP=xcm，则SR=2xcm 得