2024届高考数学一轮复习第七章《立体几何与空间向量》第五节 空间向量及其运算

第七章 立体几何与空间向量 第五节 空间向量及其运算 课标要求 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.空间向量的有关概念 （1）共线向量（平行向量）：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相______ ______，则称这些向量为共线向量或平行向量. （2）共面向量：平行于____________的向量. （3）共线向量定理：对空间任意两个向量 <m></m> , <m></m> , <m></m> 存在 <m></m> ,使___ _____. （4）共面向量定理：若两个向量 <m></m> , <m></m> 不共线,则向量 <m></m> 与向量 <m></m> , <m></m> 共面 <m></m> 存在唯 一的有序实数对 <m></m> ,使 <m></m> _________. 平行或重合 同一个平面 <m></m> <m></m> （5）空间向量基本定理 定理:如果三个向量 <m></m> , <m></m> , <m></m> 不共面,那么对空间任一向量 <m></m> ,存在唯一有序实数组 <m></m> 使得 <m></m> _____________. 推论:设 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 是不共面的四点,则对平面 <m></m> 内任一点 <m></m> 都存在唯一的有序实 数组 <m></m> ，使 <m></m> ，且 <m></m> . <m></m> 2.数量积及坐标运算 （1）两个向量的数量积 <m></m> ； <m></m> _________（ <m></m> , <m></m> 为非零向量）; <m></m> ____. <m></m> <m></m> （2）向量的坐标运算:设 <m></m> , <m></m> ，则有 向量和： <m></m> ； 向量差： <m></m> ； 数量积： <m></m> ； 共线： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； 垂直： <m></m> ； 夹角公式： <m></m> . 提 醒 （1）向量的数量积满足交换律、分配律，即 <m></m> ， <m></m> 成立，但不满足结合律，即 <m></m> 不一定成立. （2）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量. 3.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行（或在这条直线上）的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有无数个. （2）平面的法向量：直线 <m></m> 平面 <m></m> ,取直线 <m></m> 的方向向量,则这个向量叫做平面 <m></m> 的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,且它们是共线向量. 提 醒 方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 空间中任意两个非零向量 <m></m> , <m></m> 共面.( ) √ （2） 若 <m></m> 是空间的一个基底，则 <m></m> , <m></m> , <m></m> 中至多有一个零向量.( ) × （3） 对于向量 <m></m> , <m></m> ，若 <m></m> ，则一定有 <m></m> 或 <m></m> .( ) × （4） 空间直角坐标系中，在 <m></m> 平面上的点的坐标一定是 <m></m> ， <m></m> , <m></m> . ( ) √ 2. 在长方体 <m></m> 中， <m></m> 等于 ( ) D A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> 3. （2022湖北丹江口期末）已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 则( ) A. <m></m> ， <m></m> B. <m></m> ， <m></m> C. <m></m> ， <m><