2024届高考数学一轮复习第七章《立体几何与空间向量》第四节 直线、平面垂直的判定与性质

第七章 立体几何与空间向量 第四节 直线、平面垂直的判定与性质 课标要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.直线与平面垂直 （1）定义：直线 <m></m> 与平面 <m></m> 内的__________直线都垂直，就说直线 <m></m> 与平面 <m></m> 互相 垂直. 任意一条 （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 性质定理 提 醒 若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于这个平面内的任何一条直线（线面垂直 <m></m> 线线垂直）. 2.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）直线和平面所成的角的范围:_ _____. <m></m> 3.平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做 二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面. ②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的 射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角. ③二面角的平面角的范围：______. <m></m> （2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 性质定理 知识拓展 1.与“直线与平面垂直”有关的结论 （1）直线与平面垂直的定义常常逆用，即 <m></m> , <m></m> . （2）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. （5）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 2.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直. 3.三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该 平面内的射影垂直. 4.三种垂直关系的转化 线线垂直 <m></m> 线面垂直 <m></m> 面面垂直 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 垂直于同一个平面的两平面平行.( ) × （2） 若直线 <m></m> 与平面 <m></m> 内的无数条直线都垂直，则 <m></m> .( ) × （3） 若平面 <m></m> 平面 <m></m> ,直线 <m></m> 平面 <m></m> ，则直线 <m></m> 平面 <m></m> .( ) × （4） 若直线 <m></m> 平面 <m></m> ，直线 <m></m> 平面 <m></m> ，则直线 <m></m> 与 <m></m> 垂直.( ) √ （5） 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面. ( ) × 2. 已知互相垂直的两平面 <m></m> ， <m></m> 交于直线 <m></m> ，若直线 <m></m> ， <m></m> 满足 <m></m> ， <m></m> ， 则( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故选C. 3. 设 <m></m> ， <m></m> 为两个不同的平面，直线 <m></m> ，则“ <m></m> ”是“ <m></m> 成立”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A [解析] 由 <m></m> ， <m></m> ，可以推出 <m></m> ；反过来，由 <m></m> ， <m></m> 不能推出 <m></m> ，因此“ <m></m> ”是“ <m></m> 成立”的充分不必要条件，故选A. 4. （新教材改编题）如图，已知 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> ，则 图中互相垂直的平面有___对.