1.3 正方形的性质与判定同步练习2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（       ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ） A．四个角为直角 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3. 下列判断正确的是（       ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两组邻边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 4. 如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（       ） A． B． C． D． 5. 如图已知正方形的面积为144，正方形的面积为169那么正方形的面积为（     ） A．313 B．144 C．169 D．25 6. 如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，和相交于点O，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7. 如图，是正方形的一条对角线，E是AC上一点，F是延长线上一点，连接，，．若，则的长为（       ） A． B． C． D． 8. 如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形； ②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4； ④点G在运动过程中，线段的最小值为．     A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 10. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（     ）         A． B． C． D． 11. 已知，如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①始终是等腰直角三角形； ②面积的最小值是； ③至少存在一个．使得的周长是； ④四边形的面积始终是1． 所有正确结论的序号是（       ）     A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④ 二、填空题 12. 如图所示，在边长为的正方形中，E为边的中点，P为对角线上的一个动点，连接、，则的最小值是 ____． 13. 如图，正方形中，，E为边上一动点，连接，过点B作于F，连接，则的最小值为___________． 14. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，E、F分别是边、上一点，且，连接，若，，则的长为__________．     15. 在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），．给出下列五个结论：①；②当时，则；③；④若，，则的面积为9．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题 16. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 17. 定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． (1)如图1，四边形是垂美四边形，用等式表示之间的数量关系并证明； (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交D于点，若，，求线段的长． 18. 如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点于直线的对称点是点，连接，，，直线，交于点． (1)在图1中补全图形； (2)猜想的度数，并证明； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 19. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．     (1)概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：要求用文字语言叙述______ 写出证明过程先画出图形，写出已知、求证． (3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方