高中数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步知识梳理

第8章 立体几何初步 一、知识点明晰 一、凸多面体的概念 1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． 1）分类： 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； 2）常见几何体 平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 2、 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 2）常见几何体 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； 正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球） 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 三、常见几何体的表面积与体积计算公式 表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 四、空间几何体的直观图 1、斜二测画法（主要步骤如下） 1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． 3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． 4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 2、常用结论： 1）直观图和平面图形的面积比为。 2）原来的图形中平行（不平行）的线段，在直观图中仍然保持平行（不平行）。 3）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 五、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 作用：此公理是判定直线在平面内的依据； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 作用：上公理和三个推论是确定一个平面的依据； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：此公理是判定两个平面相交的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6、 点、线、面的位置关系 1）线与线的关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 2）线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 3）平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 七、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 八、空间中直线、平面的平行关系 1、证明直线与平面平行的常用方法 ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平