21.2.4一元二次方程根与系数的关系 课件 2023-2024学年 人教版九年级上册数学

一元二次方程根与系数的关系 人教版 九年级上册数学 21.2.4解一元二次方程 教学目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。 复习巩固 【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法? （1） 一元二次方程的一般形式： （2）一元二次方程有实数根的条件是什么： （3）一元二次方程的求根公式是什么： 求根公式 ax2+bx+c=0（a≠0） 新知导入 计算：解下列方程并完成填空： (1) (x -3)(x - 4 )= 0；(2) x2 - 2x = 0； (3) 2x2 + 3x - 2 = 0. 方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 x2−2x=0 2x2+3x-2=0 3 4 12 7 0 2 2 0 -2   -1   新知导入 【问题】从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗? (x-x1)(x-x2)=0 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 x2+ px+ q=0 x1+x2= -p x1x2= q 思考探究 如何求出一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 两根之积、两根之和？ 有实数根的前提是什么呢？ Δ=b2-4ac≥0 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当Δ≥0时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，此时x1+x2，x1·x2等于多少呢？ 新知导入 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 ， 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 前提条件：1、 先把方程化为一般式。 2、 Δ≥0。 典例分析 例1 不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0；（2） 5x – 1 = 4x2 （1）解： a = 1，b = – 6， c = – 15． Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0． ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15． a = 4，b = – 5， c = 1． Δ = b2 - 4ac = ( – 5 )2 – 4 × (– 5 ) ×1 = 45 > 0． ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = ． （2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0 典例分析 例1 不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）3x2 + 7x - 9 = 0；（2） 2x2-4x +9 =0． （1）解：a = 3，b = 7， c = - 9． Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 ×3×(-9) = 157 > 0． ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = -3． （2）解：a = 2，b = - 4，c = 9． Δ = b2 - 4ac = (-4)2 – 4 ×2×9 = -56 < 0． ∴方程无实数根． 典例分析 例2 用公式法解下列方程： （1)解: 因式分解得 (x﹣2)(x+1)=0 于是得x-2=0，或x+1=0 ∴x1=2，x2=﹣1 （2) 移项、合并同类项得4x2﹣1=0 因式分解得 (2x+1)(2x-1)=0 于是得2x+1=0或2x﹣1=0 ∴x1=0.5，x2=﹣0.5 知识归纳 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 　　　　　　　　，　　　　　　 练习检测 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1)2x2-3x＋1＝0 (2)x2-3x＋2＝10 (3)7x2-5＝x+8 感