22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式 学案 2023-2024学年数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式 学案 一、学习目标 1.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 2.根据不共线的三点，会用待定系数法求二次函数的解析式 3.根据具体问题的特征，能选择不同的方法确定二次函数的解析式 二、基础知识 1.求二次函数的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值. 由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，然后求出a，b，c就可以写出二次函数的解析式. 2.已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤： 第一步：设解析式为. 第二步：将已知点坐标代入a值，得出解析式. 3.交点式求二次函数的解析式 这种已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 其步骤是：（1）设函数解析式是； （2）先把两交点的横坐标代入解析式中，得到只含参数a的解析式； （3）将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a的值； （4）将a用求得的值换掉，写出函数解析式. 4.用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤： ①设出合适的函数解析式； ②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式. 三、巩固练习 1.若二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为( ) A. B. C. D. 2.如图，是一条拋物线，则其表达式为( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 4.如图，平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线与y轴交于点，顶点B的坐标为.则抛物线的解析式为___________. 5.已知：如图，抛物线经过、、三点.则抛物线的解析式是__________. 6.抛物线的顶点为，与y轴交于点，则该抛物线的解析式为___________. 7.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为且经过点. (1)求该二次函数的解析式. (2)求直线与该二次函数图象的交点的坐标. 8.已知抛物线的顶点坐标为. (1)求b，c的值. (2)已知点A，B落在抛物线上，点A在第二象限，点B在第一象限.若点B的纵坐标比点A的纵坐标大3，设点B的横坐标为m，求m的取值范围. 9.如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，试判断的形状； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案 巩固练习 1.答案：C 解析：由二次函数的图象的顶点坐标为得 把代入得，解得 ，故选C. 2.答案：B 解析：因为抛物线与x轴的交点坐标为，，可设抛物线的表达式为，把代入，可得，解得，所以抛物线的表达式为. 3.答案：D 解析：抛物线经过点，且抛物线的对称轴经过点A，函数的顶点坐标是，解得该抛物线的解析式为.故选D. 4.答案： 解析：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为.抛物线与y轴交于点，，解得，，抛物线的解析式为. 5.答案： 解析：由题知抛物线的解析式为，代入，得，解得，. 6.答案： 解析：抛物线的顶点为，设这个抛物线的解析式为，抛物线与y轴交于点，，解得，这个抛物线的解析式为. 7.答案：(1) (2)两个函数交点坐标是和 解析：(1)解：设二次函数是， 把代入函数， 则， 解得， 所求函数是； (2)解：根据题意联立直线解析式与二次函数解析式组成方程组为 ， 解得， ，， 两个函数交点坐标是和. 8.答案：(1)， (2)或 解析：(1)抛物线的顶点坐标为， ， ，. (2)点A在第二象限，， 点A的纵坐标大于0小于3. 点B在第一象限且纵坐标比点A的纵坐标大3， 点B的纵坐标大于3小于6. 根据抛物线的对称性可知，当函数值时，，. 令，解得，. 结合二次函数的图象，m的取值范围是：或. 9.答案：（1） （2）直角三角形 （3）存在，理由见解析 解析：（1）由抛物线与x轴交于，两点， 则函数关系式为：， ， 解得， ； 抛物线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ， 抛物线的顶点， ，， ，，， ， 是直角三角形； （3）存在，理由如下： ，， ， 设点P的横坐标为t，则， 的面积为：， ， 解得， 点P的坐标为. 2 $$