22.1.4.1二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 教案 2023-2024学年数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.4.1二次函数的图象和性质 教学设计 一、教学目标 1.使学生掌握把通过配方写成的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，经历画二次函数图象的一般过程，进一步体会转化的数学思想. 2.通过图象了解二次函数的性质，体会数形结合的思想. 二、教学重难点 1. 教学重点 把通过配方写成的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标和相关性质. 2. 教学难点 把通过配方写成的形式 三、教学过程 （一）新课导入 教师提问，引入新课 展示函数，，，，依次说出顶点坐标，对称轴和最值. 思考 我们已经知道的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？ （二）探索新知 思考 教师提问1：怎样将化成的形式？ 答案：配方法 提问2：配方的方法及步骤是什么？ ①提：提出二次项系数； ②配：括号内配成完全平方式 ③化：化成顶点式 提问3：你能画出的图象吗？ 可以通过配方法将转化为. 先画出的图象，再通过平移得到的图象； 平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位. 提问4：能直接画出的图象吗？ 如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是，对称轴是. 先利用图象的对称性列表： 然后描点画图，得到的图象（如图）. 提问5：观察图象，二次函数的性质（y随x如何变化）是怎样的？ 从图中二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大. 提问6：我们如何用配方法将一般式化成顶点式？ . 提问7：由此你可以得到什么？ 抛物线的顶点坐标是：. 对称轴是：直线 如果，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 如果，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 提问8：用上面的方法讨论二次函数的图象和性质. （学生独立思考，教师提问，得出的答案如下） ，平移的图象能得到二次函数的图象. 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 总结：二次函数的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：开口向上；开口向下； ②同号对称轴在y轴的左侧；异号对称轴在y轴的右侧； ③经过原点；与y轴的交点位于x轴的上方；与y轴的交点位于x轴的下方； ④当时，y的值为，当时，y的值为. ⑤当对称轴时，，，此时； 当对称轴时，，，此时. 因此，判断的符号，需判断对称轴与1的大小，若对称轴在直线的左边，则，再根据a的符号即可得出结果；判断的符号，同理需判断对称轴与的大小. 练习 1.对于二次函数的图像，下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.与x轴有两个交点 C.抛物线的顶点坐标是 D.当时，y随x的增大而减小 答案：D 解析：A.二次函数中，，则， 抛物线开口向上，故选项正确，不符合题意； B.当时，， 对于方程来说， ， 方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图像 与x轴有两个交点，故选项正确，不符合题意； C.， 抛物线的顶点坐标是，故选项正确，不符合题意； D.， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大，故选项错误，符合题意.故选D. 2.将抛物线向左平移2个单位长度，所得抛物线为__________. 答案： 解析：将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，故答案为. 3.已知点，是抛物线 上的两点, 则m,n的大小关系为_______. 答案： 解析：易知抛物线 的对称轴为直线, 点A到对称轴的距离为2 , 点B到对称轴的距离为1，，抛物线开口向上, 抛物线上的点到对称轴的距离越小, 点的纵坐标越小,. 4.如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 解析：（1）设抛物线的表达式为：， 由题意可得：，， ， ，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线， ①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，， ②， ， ， 即的最小值为． （三）小结作业 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.二次函数可转化为（顶点式） 3.二次函数的图象和性质 作业： 四、板书设计 22.1.4.1二次函数的图象和性质 探究一：二次函数的图象 探究二：二次函数的图象和性质 练习 2 $$