22.1.3.1二次函数y=ax²+k的图象和性质 教案 2023-2024学年数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.3.1二次函数的图象和性质 教学设计 一、教学目标 1.能画出二次函数的图象. 2.掌握二次函数与图象之间的联系 3.能灵活运用二次函数的知识解决简单的问题 4.利用抛物线与图象之间的联系解决简单的问题 二、教学重难点 1. 教学重点 二次函数的图象和性质 二次函数与图象之间的联系 2. 教学难点 二次函数性质的应用 三、教学过程 （一）新课导入 教师提问，引入新课 问题1：一次函数与的图象的位置关系 学生独立思考，得出答案是平行 问题2：你能由此推测二次函数与的图象之间有什么关系吗？ 二次函数与的图象之间又有什么关系？ 问题2在问题1的基础上学生可能得到以下结论：平行；后一个可以由前一个平移得到；答案不确定等.由此引出新课题 （二）探索新知 探究一 在同一坐标系下画出下列三个函数，和的图象 （1）列表 （2）描点 （3）连线 得到三个二次函数的图象. 根据图象回答下列问题： （1）图象的形状都是抛物线； （2）三条抛物线的开口方向向上； （3）对称轴都是y轴； （4）从上而下顶点坐标分别是，，； （5）顶点都是最低点，函数都有最小值，从上而下最小值分别为，，. （6）函数的增减性都相同：对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大. 观察图象得到结论：抛物线可以由抛物线向上或向下平移个单位得到. 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 探究二 在用一坐标系内画出二次函数，与的图象. （学生画图时，教师巡视指导，及时纠正学生的错误） 如图为这三个二次函数的图象. 根据图象回答下列问题： （1）图象的形状都是抛物线； （2）三条抛物线的开口方向向下； （3）对称轴都是y轴； （4）从上而下顶点坐标分别是，，； （5）顶点都是最高点，函数都有最大值，从上而下最大值分别为，，. （6）函数的增减性都相同：对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小. 总结： 二次函数与的图象的关系 二次函数的图象可以由的图象平移得到： 当时，向上平移个单位长度得到； 当时，向下平移个单位长度得到. 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 练习 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，则线段BC的长为__________. 答案： 解析：抛物线与y轴交于点A， 则点A的坐标为， 过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C， 则，解得，， 则线段BC的长为； 故答案为：. 2.二次函数的图象开口向_____,顶点坐标为_________,对称轴为_________轴.当时,y随x的增大而________；当时,y随x的增大而________.因为，所以y有最________值，当________时，y的最______值是________. 答案：上；(0,)；y；增大；减小；小；0；小； 解析：二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,),对称轴为y轴,当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小.因为,所以y有最小值,当时,y的最小值是.故答案为上,(0,),y,增大,减小,小,0,小，. 3.已知抛物线 与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧). (1)求点A,B的坐标. (2)点D是抛物线上一点,在直线上是否存在一点P,使得以A,B,P,D为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析：(1) 令, 即,解得或-2 , ， (2)设，,可分两种情况讨论. ①若AB为平行四边形的一条边,则，， ，或. 当时, , 解得 或 3 ; 当时, ,解得. ②若 AB为平行四边形的一条对角线, 则 ，， 解得. 综上, 点的P坐标为,，，，，或 （三）小结作业 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.二次函数的图象 3.二次函数的性质 4.与的关系 作业： 四、板书设计 22.1.3.1二次函数的图象和性质 探究一：二次函数，和的图象 探究二：二次函数，与的图象 二次函数的性质总结 练习 2 $$