22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 教案 2023-2024学年数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 教学设计 一、教学目标 1.会用描点法画出形如的二次函数图象，连接抛物线的有关概念 2.能通过观察图象说出二次函数的图象特征和性质 3.会用待定系数法确定二次函数的解析式 4.在类比探究二次函数的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 二、教学重难点 1. 教学重点 二次函数的图象的画法及性质 2. 教学难点 用描点法画二次函数的图象，探索其性质及特征 三、教学过程 （一）新课导入 让学生观看生活中的抛物线 我们研究问题最好是由最简的情形入手，而根据二次函数的定义，你认为最简单的二次函数的解析式是怎样的？ 学生独立思考，得出答案：最简单的二次函数是，我们这节课就学习二次函数的图象和性质. （二）探索新知 探究一：画出二次函数的图象 自变量x的取值范围是什么？x取整数还是取其他数较好？y是一个数的平方，它的值与x的值有什么关系？ 学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数的两个数时，y的值相同. 1.列表：在中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y) （教师提问：在画坐标系时，x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长？学生独立思考，小组讨论，得出共识如下：x轴的正、负半轴画一样的长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以.通过这个问题可以培养学生的作图技巧.） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象. （学生先连一次试试，教师再演示.） 根据图象可以看出：y轴是抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点. （教师可根据学生理解的层次直接根据解析式得出图象是轴对称图形） 议一议 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. （1）y=x2是一条抛物线； （2）图象开口向上； （3）图象关于y轴对称； （4）顶点 （5）图象有最低点 提问：观察二次函数y=x2的图象，y随x如何变化? 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象. 解：列表如下 描点、连线，如图所示： 思考： （1）函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ （2）当时，二次函数的图象有什么特点？ 答：一般地，当时，抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 探究二 在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象. 1.列表： 2.描点 3.连线 如图所示： 提问：观察二次函数的图象，y随x如何变化? 从二次函数的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 思考： （1）从函数，，的图象，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点. （2）当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 答：对于抛物线，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 归纳： 练习 1.已知函数的图像过点. (1)求a的值； (2)在图像上有两点，，且，比较，的大小. 解析：(1)因为函数的图像过点， 所以. (2)由(1)知，.因为，所以图像开口向上，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当时，. 2.已知二次函数与一次函数的图象相交于两点,如图所示,其中,求的面积.(解答可参照图中辅助线) 解析：∵一次函数的图象过点,解得, ∴一次函数解析式为,∴令,得.过点,,解得,∴二次函数解析式为.由一次函数与二次 函数联立可得解得，. 3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次数的图象于点B. （1）点B的纵坐标为____________（用含m的代数式表示）； （2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值； （3）当时，若，求m的值. 答案：（1）如图，根据题意知，点B的横坐标是m， 将代入，得， 点B的纵坐标为. （2）把代入，得. 解得，. （3）根据题意知. ①，解得，. ，. ②， 解得，. ，. 综上所述，m的值为或. （三）小结作业 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.二次函数的画法 3.二次函数的图象 4.二次函数的性质 作业： 四、板书设计 22.1.2二次函数的图象和性质 二次函数的图象； 二次函数的图象 二次函数的图象和性质 2 $$