21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教案 2022--2023学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 一、教学目标 1.引导学生探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系 2.让学生熟练运用根与系数的关系求两根的和、两根的积 3.提高学生综合运用基础知识解决较复杂问题的能力 二、教学重难点 1. 教学重点 一元二次方程的根与系数的关系 2. 教学难点 对根与系数的关系的理解和推导 三、教学过程 （一）新课导入 1.一元二次方程的求根公式是什么？ （教师提问，学生回答） 2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： 时，方程有两个不相等的实数根 时，方程有两个相等的实数根 时，方程无实数根 想一想：方程的两根和与系数还有其他关系吗？ （二）探索新知 算一算 解下列方程并完成填空 （1）；（2）；（3）. 一元二次方程 两根 关系 1 2 3 思考：若一元二次方程的两根为，则有，，那么方程（为已知数）的两根是什么？将方程化为的形式，你能看出与之间的关系吗？ 把方程的左边展开，化成一般形式，得方程这个方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项. 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：，. 思考：通过上表猜想，如果一元二次方程的两个根分别是，那么，你可以发现什么结论？ 学生说出猜想：，（师生共同证明） 证明：根据求根公式可知，， 由此可得， . 因此，方程的两个根和系数有如下关系： ， 例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1）；（2）；（3） 解：（1）. （2）. （3）方程化为.. 总结常见的求值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 练习 1.已知关于x的一元二次方程有两个实数根、. (1)求实数k的取值范围； (2)若方程的两实数根、满足，求k的值. 解析：(1)方程整理为， 根据题意得， 解得； (2)根据题意得，， ，，， ，整理得，解得，(舍去)， . 2.已知，是一元二次方程的两个实数根. （1）求k的取值范围. （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解析：（1）一元一次方程有两个实数根， ，解得. （2）存在.，是一元二次方程的两个实数根， ，. ，， ，解得，. 又，. 存在这样的k值，使得等式成立，k的值为. （三）小结作业 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤？ 3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题？ 作业： 四、板书设计 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.结论：如果有两个根，那么， 2.根与系数的关系：如果一元二次方程的两个根分别是，那么， 2 $$