精品解析：江苏省淮阴中学等四校2023-2024学年高三上学期期初联考数学试题

2023-2024学年上学期期初考试 高三数学 2023.8 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 0或4 2. 已知复数z满足，且，则=（ ） A. B. C. D. 3. 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 记为满足的点的个数，则=（ ） A. B. C. D. 4. 若的内角A，B，C满足， 则A与B的关系为（ ） A. B. C. D. 5. 年月日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶，它每年的衰减率约为.专家估计，当锶含量减少至初始含量的约倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（ ）(参考数据：) A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 6. 已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 无最大值，无最小值 D. 有最大值，有最小值 7. 一个由若干行数字组成数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（ ） A. B. C. D. 8. 设，， 对于，有，则是的（ ） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 非极大极小值点 D. ABC选项均可能 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知O为坐标原点，点，其中为锐角，则（ ） A. 为定值 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是（ ） A. 若，，均为正整数，则解的个数为 B. 若，，均为非负整数，则解的个数为 C. 若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044 D. 若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044 12. 设函数，且都有，则下列判断正确是（ ） A. ，的图象关于原点对称 B. ，直线和的图象至多只有一个交点 C. ，命题“，满足”成立 D. ，使得，都有成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数__________. ①定义域是； ②是偶函数； ③值域为. 14. 现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）. 15. 将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是________． 16. 设椭圆T：的右焦点为F，过点的直线l与椭圆交于点A，B，M为AB的中点，使得是、的等比中项，则a的最小整数值为_____ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F． （1）试证明： （2）若P为重心，，求的面积． 18. 已知是等差数列，． （1）求的通项公式和． （2）设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 19. 如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，. （1）当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 20. 已知双曲线． （1）求C的右支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数． （2）记C左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 21. 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 （1）求该系学生