3.2.1单调性与最大（小）值课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 三 函数概念与性质 章 3.2.1单调性与最值 1 结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程,加深对函数单调性概念的理解. 学习目标 准备好了吗?一起去探索吧! 理解用符号形式表达数学定义的必要性,掌握这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用. 理解增(减)函数的定义,会证明函数在制定区间上的单调性. 理解函数最值的定义,会求函数在给定区间上的最值. 难点 重点 如何求一个具体函数的最值. 在形成增(减)函数的形式化定义的过程中, 如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的 数学符号语言表述,用定义证明函数的单调性. 借助图像,表格和自然语言,数学符号语言, 形成增(减)函数的形式化定义, 并能用定义解决简单的问题. 探究一 函数单调性的探究 思考 . . 9 探究二 函数单调性的定义 定义 探究三 单调性的应用 例题 . 12 探究四 函数的最值 例题 . 17 . 18 . 练一练 √ 19 . 20 . 练一练 √ 21 . 练一练 √ . 练一练 √ 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢? 研究二次函数 的单调性. 画出它的函数图象, 图象在y轴左侧部分从左到右是下降,也就是说, 当x<0时,y随x的增大而减小.用符号语言描述,就是任意取 , 得到 ,那么当 时,有 . 这时,我们就说函数 在区间 上是单调递减的. 图象在y轴右侧部分从左到右是上升的, 也就是说,当x>0时,y随x的增大而增大.用符号语言描述,就是任意取 , 得到 ,那么当 时,有 . 这时我们就说函数 在区间 上是单调递增的. 函数 各有怎样的单调性? 的图象如图(1),图象在y轴左侧从左到右是下降的, 也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小, 用符号语言描述就是任意取 , 则 ,当 时,有 , 所以 在区间 上单调递减的. 类似地, 在区间 是单调递增的. 的图象如图(2),图象在y轴左侧从左到右是上升的,也就是说, 当x<0时,与y随x的增大而增大,用符号语言描述就是任意取 , 则 , 当 时,有 ,所以 在区间 上是单调递增的. 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 : 如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数. 如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. 根据定义证明函数 在区间 上单调递增. 证明: ,且 ,有 由 ,得 所以 又由 ,得 于是 即 .所以,函数 在区间 上单调递增. 定义法判断函数单调性的一般步骤: ①取值:在指定区间内任取 ,且 ②作差变形:作差 ,利用因式分解、配方等方法进行变形 ③判号:判断 的符号 ④定论:确定函数的单调性 定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1) ,都有 ; (2) ,使得 . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1) ,都有 ; (2) ,使得 . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值. 已知函数 ,求函数的最大值和最小值. 分析:由函数 的图象可知, 函数 在区间 上单调递减. 所以, 函数 在区间 的两个端点上分别取得最大值和最小值. ,且 ,则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由 ,得 , 于是 ,即 . 所以,函数 在区间 上单调递减. 因此,函数 在区间 的两个端点上分别取得最大值与最小值. 在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4. 1.函数 的最小值是( ) A. B.0 C.1 D.2 当 时,的最小值为 ;当 时, 单调递减, 可得 .综上可得函数 的最小值为0. 故选B. 2.若奇函数 在 上是减函数且最小值是1,则它在 上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最大值是-1 D.减函数且最小值是-1 奇函数 在 上是减函数且最小值是1, 函数 在 上是减函数且最大值是-1.故选C. 3.已知 是定义域为R的单调函数,且对任意实数x,都有,则 的值为( ) A.3 B.5 C.7 D.9 由 ,且是单调函数可知 必是常数, 设 (k为常数),得 EMBED Equation.DSMT4 ,且 ,解得 , 所以 , .故选B. 4.已知函数 在R上单调递减,则函数的增区间为( ) A. B. C. D. 由函数 在R上单调递减可知, 所以 的图象开口向下,对称轴为 , 所以 在 上单调递增. 故选C. 1.单调性的定义 2.单调性的应用 3.单调性