3.4函数的应用（一）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 三 函数概念与性质 章 3.4 函数的应用（一） 1 通过实际问题理解一次函数、二次函数、分段函数等的应用，体会数学与物理、生活的关系，养成正确的数学化理性思维，形成“数学源于生活，寓于生活，用于生活”的意识. 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 难点 重点 函数模型的体验，以及建立实际问题的分段函数解析式. 利用给定的函数模型解决实际问题， 特别是分段函数的应用. 探究一 一次函数模型 . . 探究二 二次函数模型 . . 探究三 幂函数模型 . . 探究四 分段函数模型 . . . 练一练 √ 20 . 21 . 练一练 √ 22 . 23 . 练一练 √ . . 练一练 √ . 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 例题 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式， 其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分) 与通话费用y(单位：元)的关系如图所示： (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15) 分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝ ，k2＝ . 所以y1＝ x＋29(x≥0)，y2＝ x(x≥0)． (2)令y1＝y2，即 x＋29＝ x，则x＝96 . 当x＝96 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x＜96 时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜； 当x＞96 时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜． 利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．　 注意 例2.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中， 发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线． 当 时，曲线是二次函数图象的一部分， 当 时，曲线是函数 图象的一部分． 根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求 的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟， 问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． （1）当 时，设 ，将点 代入得 ， ∴当 时， ； 当 时，将点 代入 ，得 . 所以 . (2)当 时， ，解得 ， 所以 ； 当 时， ，解得 ，所以 ， 综上 时学生听课效果最佳， 此时 ， 所以，教师能够合理安排时间讲完题目. 二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题， 是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后， 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值， 从而解决实际问题．　 注意 例题 某家庭进行理财投资,根据长期受益率市场预测, 投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的 收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(如图) （1） 分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系; （2）若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益, 其最大收益是多少万元? （1）设两类产品的收益与投资的函数分别为 . 由已知得 , 所以 . （2）设投资债券产品为 万元,则给投资股票类产品为 万元. 依题意得 . 令 ,则 , 所以当 ,即 时,收益最大, 万元. 注意 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 例题 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元 ）与 上市时间比t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系， 西红柿种植成本Q（单位：元 ）与上市时间t（单位：天）的关系 符合图2中的抛物线表示的函数关系. （1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 ， 图2表示的种植成本与时间的函数关系式 ; （2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？ （1） 由题图1可得市场售价P与上市时间t的 函数关系式为 由题图2可得种植成本Q与上市时间t的函数 关系式为 , . （2）设上市时间为t时的纯收益为 （单位：元/ ），则由题意， 得 ，即 当 时，整理，得 ，当 时， 取得最大值100； 当 时，整理，得 ， 当 时， 取得最大值87.5. 综上，从2月1日起的第50天上市的西红柿的纯收益最大. 注意 (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，