21.1一元二次方程（教案）2023－2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 教学设计 一、教学目标 1.经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型. 2.使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 3.通过概念教学，培养学生的观察、类比，归纳能力，同时通过变式练习，使学生对概念的理解具备完整性和深刻性. 二、教学重难点 1. 教学重点 理解一元二次方程及其有关概念 2. 教学难点 从实际问题中抽象出一元二次方程； 正确识别一般式中的“项”及“系数” 三、教学过程 （一）新课导入 用课件展示章前图，引导学生观察，创设情境. 要设计一座2米高的人体雕塑，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感。那么它的下部应设计为多高？ 设雕像下部高，可得方程，整理得. 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2.如何解这类方程？如何用这类方程解决一些实际问题？ （二）探索新知 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 学生通过阅读理解问题的意义，教师启发学生设未知数并列出方程，最后师生一起整理得到方程. 设切去的正方形的边长为cm，则盒底的长为cm，宽为.根据方盒的底面积为3600.得.（教师引导学生列出方程） 整理，得. 化简，得. 由方程可以得出所切正方形的具体尺寸. 问题2（展示图片） 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和事件等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 全部比赛的场数为. 设应邀请个堆参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.（教师引导学生列出方程） 列方程. 整理，得. 化简，得. 由方程可以得出参赛队数. 观察上面的方程，总结规律. 思考： 方程；；有什么共同点？ 这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数？它的最高次数是几？它们有什么共同特点？ 学生独立思考，然后小组交流. 1.得出方程的特点：（1）都只含有一个未知数x；（2）它们的最高次数是2；（3）是整式方程. 2.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 3.一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 例 将方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项 、一次项系数和常数项. 解：去括号，得. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 . 其中二次项系数为3，一次项系数为，常数项为. 4.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 判断一个数是否是一元二次方程的根：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根. 练习 1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）；（2）. 【答案】（1）的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为. （2）的一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0. 2.若是关于x的一元二次方程，求m的值. 晓丽的解法如下： 解：是关于x的一元二次方程， ，. 请问：晓丽的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解答过程. 【答案】晓丽的解法不正确.正确的解答过程如下： 是关于x的一元二次方程， 且，. 3.一元二次方程化为一般形式后为，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积. 【答案】整理原方程得， 即. 原方程化为一般形式后为， ，. . 4.已知关于的方程. （1）当取何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当取何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】（1）是一元二次方程， 则，解得. 当时，方程是一元二次方程. （2）是一元一次方程， ①，解得； ②，解得. 当或时，方程是一元一次方程. （三）小结作业 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.一元二次方程的概念 3.一元二次方程的一般形式 4.一元二次方程的解 作业： 四、板书设计 21.1一元二次方程 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的根 例题 2 $$