24.2.1点和圆的位置关系 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.2.1　点和圆的位置关系 【教学目标】 1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r及其运用． 2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用． 3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念． 4．了解反证法的证明思想． 【教学重点】 点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用． 【教学难点】 讲授反证法的证明思路． 【教学过程】 一、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面的问题． 1．圆的两种定义是什么？ 2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？ 3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？ 4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想． (老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． （2）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径，圆上的点到圆心的距离等于半径. 二、讲授新课 【知识点一】点和圆的位置关系 由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d， 则有：点P在圆外⇒d>r； 点P在圆上⇒d＝r； 点P在圆内⇒d<r； 反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内． 因此，我们可以得到： 设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d， 则有：点P在圆外⇔d>r； 点P在圆上⇔d＝r； 点P在圆内⇔d<r. 这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据． 【知识点二】确定圆的条件 经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆． (1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ (3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？ (老师在黑板上演示) (1)无数多个圆，如图(1)所示． (2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个． 其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示． (3)作法：①连接AB，BC； ②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O； ③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 即不在同一直线上的三个点确定一个圆． 【知识点三】三角形的外接圆 因为不在同一直线上的三个点确定一个圆，也就是说经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 请同学们分别画几个锐角、直角、钝角三角形的外接圆并找出外心，分析一下外心有什么特点. 教师归纳： （1）任何一个三角形都只有一个外接圆，一个圆有无数个三角形. （2）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部. （3）三角形的外心到三个顶点的距离相等. 【知识点四】反证法 下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆． 证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾． 所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法． 教师归纳： 反证法的一般步骤： 1.假设：假设原命题的反面成立； 2.推理：从这个假设出发 ，经过推理论证，得出矛盾； 3.下结论：由矛盾断定假设不正确，从而得出原命题成立. 三、巩固练习 1、已知：圆O的半径为20cm, 请根据下列点P到圆心O 的距离，判断点P与圆O的位置关系？ （1）OP=12cm; (2)OP=20cm; (3)OP=25cm