24.1.2垂直于弦的直径 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径 【教学目标】 1.掌握圆的对称性、垂径定理及其推论； 2.能灵活运用垂径定理及其推论解决问题. 【教学重点】 圆的对称性、垂径定理及其推论. 【教学难点】 垂径定理及其推论的应用. 【教学过程】 一、回顾复习 1.叙述圆的两个定义. 2.连接圆上任意两点的线段叫做______.经过圆心的弦叫做______. 3.圆上任意两点间的部分叫做_______，简称_______.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做________. 4.什么是优弧？什么是劣弧？ 5.什么是等圆？什么是等弧？ 二、新课探究 请同学按要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． 教师归纳：（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. （2）AM=BM，，，即直径CD平分弦AB，并且平分及. 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M. 求证：AM＝BM，＝，＝. 分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可. 证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB， 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM， ∴点A和点B关于CD对称， ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合． ∴＝，＝. 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 教师归纳： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 三、典例精讲 赵州桥是我国隋代建立的石拱桥，距今约有1400年的历史，主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗（结果保留小数点后一位）？ 解：如图所示，用表示主拱桥，设所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦的垂线OC，D为垂足，OC与相较于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知 AB=37，CD=7.23， 所以AD=AB=×37=18.5， OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理得 OA2=AD2+OD2, 即R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 教师归纳：通过本题的解答可以看出，在圆中求半径、弦的等线段的长时，常常构造直角三角形，借助垂径定理并运用勾股定理来解决. 四、巩固练习 1、下列说法正确的个数有（ ） ①垂直于弦的直径平分这条弦；②垂直平分弦的直线必过圆心；③平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图圆O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_____cm，∠AOB _____°. 3、已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，则这条弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______cm. 4、如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径. 5、如图，在圆O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形. 五、课堂小结 1.垂径定理及其推论的内容. 2. 学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？ 六、布置作业 课本第89页第2题. $$