22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质 【教学目标】 能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质. 【教学重点】 函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质． 【教学难点】 用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征． 【教学过程】 一、情境导入 1、 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？ 2、观察下面三幅图片，分析一下它们展示的图形有什么特点？怎样用数学规律来描述呢？ 二、新知探究 1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称 【探究1】画y=x2的图象 学生动手实践、用描点法尝试画y=x2的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线 教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图 提问：二次函数图像有何特征？ 教师归纳： ①形状是开口向上的抛物线； ②图像关于y轴对称； ③有最低点，没有最高点. 结合图像介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向. 2. 函数y=ax2 的图象特征及其性质 【探究2】在同一坐标系中，画出y=ax2 ，y=x2，y=2x2的图象. 学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图 提问：图中三个抛物线有何异同？ 相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）. ②对称轴相同，都为y轴 ③开口方向相同，它们的开口方向都向上. 不同点：开口大小不同. 练一练：画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象. 比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点. 相同点：①形状都是抛物线. ②顶点相同，其坐标都为（0，0）. ③对称轴相同，都为y轴 ④开口方向相同，它们的开口方向都向下. 不同点：开口大小不同. 教师归纳： y=ax2的图象特征： (1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线. (2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.当a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.当a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点. （3）|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小. 三、典例精讲 例1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.   （1）求此抛物线的函数解析式；   （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；   （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2, 解得a=-2,所求函数解析式为y=-2x2. （2）因为-4≠-2×（-1）2,所以点B（-1，-4）不在此抛物线上. （3）由-6=-2x2 ,得x2=3,x= .  所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是（，-6）与（-，-6）. 例2. 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2和y=-2x2的图像，并根据图像回答下列问题： （1）说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）抛物线y=x2，当x_____时，抛物线上的点都在x轴的上方；当x>0时，曲线自左向右逐渐_______；它的顶点是图像的最_____点； （3）函数 y＝－2x2，对于一切 x 的值，总有函数值 y_____0；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________；当 x________时，y 有最________值为________． 解：列表 然后描点、画图，得到函数y=x2和y=-2x2的图像，如图 （1）抛物线y=x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线y=-2x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）. （2）≠0 上升 低 （3）≤ 增大 =0 大 0 四、巩固练习 1. 抛物线y=3x2,y=-3x2,y=x2共有的性质是（      ）． A.开口向上         B.对称轴是y轴 C.都有最高点        D.y随x的增大而增大 2.若点A(2,m)在抛物线y=x2 上，则点A关于y轴对称点的坐标是（   ）． A.（2，4） B.（－2，4） C.（2，－4） D.（－2，－4） 3. 抛物线y=4x2中的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .抛物线y=-x2的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 4. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= . 5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并