22.1.1二次函数 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

22.1.1二次函数 【教学目标】 1.理解二次函数的概念； 2.根据实际问题列出二次函数的解析式并能确定自变量的取值范围. 【教学重点】 二次函数概念的理解. 【教学难点】 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围. 【教学过程】 一、复习提问 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一次函数的定义是什么？ 二、新知探究 探究问题1： 用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？ 由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题 1、设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2.能用含x的代数式来表示y吗？ 2、x的值可以任意取吗？有限定范围吗？ 3、我们发现y是x的函数，试着写出这个函数的关系式. 探究问题2： 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： 1. 圆的面积 y ( )与圆的半径 x  ( cm ) 答案：y =πx2. 2. 某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y 答案：y = 2(1+x)2. 教师提问：以上两个例子所列出的函数有什么特点，学生观察并讨论. 三、讲授新知 引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 巩固对二次函数概念的理解： 提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2.对于二次函数y= ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？ 思考：1.由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？ 判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0． 2.二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有什么联系和区别？ 联系：(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0； (2)方程ax2+bx+c可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的. 区别:（1）前者是函数，后者是方程； （2）等式另一边前者是y,后者是0. 四、典例精讲 例1下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y=3x-1； （2）y=3x2+2； （3）y=3x3+2x2； （4）y=2x2-2x+1； （5）y=x2-x（1+x）； （6）y=x-2+x. 解：（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1. （2）是二次函数. （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3. （4）是二次函数. （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=-x. （6）不是二次函数，因为x-2为分式，不是整式. 教师归纳： 判定一个函数是不是二次函数按如下顺序进行: （1）等号的右边是整式； （2）把等号右边的代数式合并整理； （3）自变量的最高次数是2. 例2  关于x的函数  是二次函数, 求m的值. 解：由二次函数的概念，得 ，解得 所以m=2. 教师归纳： y=ax2+bx+c为二次函数的条件是a≠0，且自变量x的最高次数是2.注意：不能忽视二次项系数不能为0这一条件. 例3 某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设广告牌的一边长为x（单位：m），广告牌的面积为S（单位：m2）.试着写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 解：由题意知，广告牌的；另一边长为（10-x）m，所以S=x（10-x）=-x2+10x. 因为解得0<x<10， 所以自变量的取值范围是0<x<10. 教师归纳： 由实际问题列二次函数解析式与列方程解应用题类似，关键是找出问题中的等量关系，然后根据等量关系列二次函数关系式.对于在实际问题中得到的二次函数，应注意使自变量的取值有意义. 五、巩固练习 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1) (2) (3) （4） （5） 2、若函数为二次函数，则m的值为______ 3、一个正方形的面积是25cm2，当边长增加acm时，新正方形的面积为Scm2，请写出S关于a的函数解析式. 六、课堂小结 二次函数的定义及其相关概念. 七、布置作业 课本第29页练习1、2. 八、板书设计 22.1.1二次函数 1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 2、判定一个函数是不是二次函数的顺序： （1）等号的右边是整式； （2）把等号右边的代数式合并整理； （3）自变量的最高次数是2. 3、由实际问题列二次函数解析式需要注意的地方： 由实际问题列二次函数解析式与列方程解应用题类似，关键是找出问题中的等量关