21.3实际问题与一元二次方程（2） 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程（2)） 【教学目标】 掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题的方法 【教学重点】 如何解决增长率与降低率问题！ 【教学难点】 解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量 x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或 降低)后的量 【教学过程】 一、导入新课 同学们好，我们之前学习了探究1关于“倍数”"的问题，知道了 解一元二次方程的一般步骤。今天，我们就学习如何解决“增长率” 与“降低率”的问题 二、新课教学 探究2：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000一3000)÷2=1000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000-3600)÷2=1200(元) 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额 (元)不等同于年平均下降率（百分数） 解：设甲种药品成本的年平均下降率为X,则一年后甲种药品成 本为5000(1一x)元，两年后甲种药品成本为5000(1一x)2元. 于是有 5000(1-x)2=3000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775 根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%. 答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试此较这两种药 品成本的年平均下降率， 解：设乙种药品成本的年平均下降率为X,则一年后乙种药品成 本为6000(1-x)元，两年后甲种药品成本为6000(1-x)2元，于 是有 6000(1-x)2=3600 解方程，得 X1≈0.225，X2≈1.775. 同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品， 它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状 况？ 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大， 应比较降前及降后的价格 小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式.若平均增长（或 降低)百分率为x,增长（或降低）前的是a,增长（或降低）n次 后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(增长取十， 降低取一). 三、巩固练习 2013年初，某市开始实施“旧物循环计划：为旧物品二次利用 提供了公益平台，到2013年底，全年回收旧物3万件，随着宣传 力度的加大，2015年全年回收旧物试已经达6.75万件，若每年回 收旧物的增长率相同. (1)求每年回收旧物的增长率； (2)按着这样的增长速度，请预测2016年全年回收旧物能超过 10万件吗？ 分析：(1)根据题意可得等量关系为：2013年全年回收旧物3 万件×(1+增长率)2=2015年全年回收旧物试已经达6.75万件， 把相关数值代入即可列出方程； (2)利用6.75×（1+增长率)即可与10万件比较，从而确定答 案 解：(1)设年平均增长率为×， 根据题意得3(1+x)2=6.75 解得X1=0.5,X2=-2.5（舍去)， 答：平均增长率为50% (2)6.75×（1+50%)=10.125万件>10万件 ∴，2016年全年回收旧物能超过10万件， 四、课堂小结 本节应掌握：增长率与降低率问题 五、布置作业 习题21.3第7题