21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【教学目标】 1、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用． 2、培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 【教学重点】 1.根与系数的关系的推导和灵活运用； 2.已知方程求关于根的代数式的值. 【教学难点】 用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式． 【教学过程】 一、复习回顾 用公式法求ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的根， 可得x1=______,x2=______. 二、新课探究 【探究点一】一元二次方程的根与系数的关系 1、完成下列表格： 方程 2x2-3x-2=0 2 -1 3x2-4x+1=0 1 ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律． 2、利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理） ax2+bx+c=0的两根= ， = ， = ， = . 你能总结出根和系数之间的关系吗？ 教师归纳： 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 三、典例精讲 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积. （1）x2-6x-15=0； （2）3x2+7x-9=0； （3）5x-1=4x2. 解：（1）x1+x2=-（-6），x1x2=-15. （2）x1+x2=，x1x2==-3. （3）方程化为4x2-5x+1=0. x1+x2==，x1x2=. 例2两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 解析：若两根均为负数则x1+x2=<0， x1x2=>0，所以选B. 教师归纳： ≥0，且x1x2>0 x1+x2>0 两根同为正数 x1+x2<0 两根同为负数 ≥0，且x1x2>0 x1+x2>0 两根异号且正根的绝对值较大 x1+x2<0 两根异号且负根的绝对值较大 例3 已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2x+1=0的两根的平方和是，求m的值. 解：设方程的两根为x1，x2，由已知， 得x1+x2= ，x1x2= . 因为= ， 所以（x1+x2）2-2 x1x2=， 所以（）2-2×=. 解得m1=-11，m2=3. 当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0， =112-4×2×23<0，方程无实数根，所以m=-11不合题意，舍去； 当m=3时，方程为2x2-3x-5=0， =（-3）2-4×2×（-5）>0，方程有两个不相等的实根.所以m的值为3. 教师归纳：当利用根与系数的关系求方程的系数时，千万不要忘记将系数带回验证≥0，因为跟与系数的关系是在一元二次方程中≥0的前提下使用的. 四、巩固练习 1. 若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大. 2.求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积. （1）3x2+7x+2=0； （2）5x-1=4x2； （3）5x2-1=4x2+x. 五、课堂小结 1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型： ①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ④判断两个根的符号； ⑤不解方程求含有方程的两根的式子的值. 六、布置作业 课本第17页习题21.2第7、13题. $$