21.2.2公式法 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.2.2公式法 【教学目标】 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程； 【教学重点】 求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】 一元二次方程求根公式法的推导. 【教学过程】 一、复习旧知 1、用配方法解方程4x2-6x-3=0. 2、总结用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、新课探究 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2=. 因为a≠0，所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac>0 这时>0，所以 x+=± 方程有两个不相等的实根 ∴x1=，x2= （2）b2-4ac=0 这时=0，所以 x1=x2=-. （3）b2-4ac<0 这时<0，所以（x+）2<0，不符合实际，所以无实数根. 教师归纳： 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此： （1）式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母表示. ①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； ②当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根； ③当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解； （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a,b,c代入式子x=就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 三、典例精讲 例1不解方程，判别下列各方程的根的情况. (1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2-x=2. 分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误. 解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解; (2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根； （3）原方程可化为3x2-x-2=0,∴a=3,b=- ,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-)2-4×3×(-2) =2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根. 例2用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0; （2）5x+2=3x2; （3）（x-2）（3x-5）=0; （4）4x2-3x+1=0. 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1. b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0. x=. ∴x1=，x2=. （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0. a=3，b=-5，c=-2. b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0. x=. x1=2，x2=-. （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0. a=3，b=-11，c=9. b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0. ∴x=. ∴x1=，x2=. （4）a=4，b=-3，c=1. b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0. 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 四、巩固练习 1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的个数是________. 2、关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取