21.2.1配方法 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.2.1配方法 【教学目标】 1、理解降次的思想，能用直接开方法解形如（ax+b）2=c（c≥0）的一元二次方程； 2.理解配方法的定义并会用配方法解决一元二次方程. 【教学重点】 理解开方法和配方法的定义. 【教学难点】 理解将次思想，会用配方法解一元二次方程. 【教学过程】 一、复习导入 1.一元二次方程的概念：等号两边都是______，只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是____的方程，叫做一元二次方程. 2.使等式左右两边相等的______就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____. 3.已知0和-1都是某个方程的解，此方程是（　　） A. x2-1=0 B. x（x+1）=0 C. x2-x=0 D. x2=x+1 教师归纳：第3题应用了代入法求方程的解，接下来我们要学习两种直接求一元二次方程的解的方法. 二、新课探究 【探究点一】用直接开方法解一元二次方程 例1 如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s�的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm， P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ 解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得 x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2． 思考：对于x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 教师归纳: 回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2， 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为t1=-，t2=--. 直接开平方法：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的． 【探究点二】用配方法解一元二次方程 例2 1.（1）x2-8x+______=（x-______）2； （2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2； （3）x2+px+_____=（x+______）2． 答案：根据完全平方公式可得： （1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 2.解下列方程： （1）x2+4x=-4; （2）2x2+4x+1=0； 提示：先将上述方程转化为（x+b）2=c（c≥0）的形式，然后用直接开平方法解方程. 解：（1）x2+4x=-4 即x2+4x+22=-4+22, （x+2）2=0，所以x1=x2=-2 （2）2x2+4x+1=0 即2x2+4x=-1， 二次项系数化为1，得x2+2x=， 即x2+2x+12=+12， 即（x+1）2=，得x+1=， 所以x1=-1+，x2=-1-. 教师归纳：这种解方程的方法就是配方法. 配方法的定义：把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）变形成左端是一个含有未知数的完全平方公式，右端是一个非负常数，进而可以用直接开方法来求解. 三、巩固练习 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p，q的值分别是（ ） A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ） A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程无解 C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=- 3.解下列方程：① x2-8x+7=0 ②2x2+8x-2=0 ③2x2+1=3x ④3x2-6x+4=0 4. 要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？ 四、课堂小结 1.直接开方法：直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的． 2.配方法定义：把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）变形成左端是一个含有未知数的完全平方公式，右端是一个非负常数，进而可以用直接开方法来求解. 3.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤： （1）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （2）方程两边同除二次项系数，化二次项系数为1；