1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（       ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 2. 如图，在边长为的正方形中，对角线，相交于点，为线段的中点，连接，则线段的长为（　　）cm．　 A． B． C．1 D．2 3. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（       ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 4. 下列命题中，假命题的是（       ） A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形 C．一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 5. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（       ）     A． B． C． D．1 6. 四边形的对角线、相交于点O，且，，补上下列条件中①；②；③；④，能使四边形为正方形的是（       ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①②或①④ 7. 如图，在正方形中，点E是中点，点F是中点，与相交于点P，设，得到以下结论：①②③，则上述结论正确的是（       ）         A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8. 如图，正方形中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 9. 如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，且，若，则的面积为（       ）     A．8 B．6 C．4 D． 10. 如图，正方形的边长为5，点E在边上，，连接，将沿翻折得，延长交于点F．则的长度为（       ） A．2 B． C． D． 11. 如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到，再以对角线为边作第三个正方形连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到；…设，，，…的面积分别为，，…，依此下去，则的值为（       ） A． B． C． D． 12. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，，，则下列结论；①；②；③和的面积比为；④，其中结论正确的序号有（   ）     A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 13. 如图，已知正方形，点E在边上，，，连接，点F在射线上，且满足，那么________．     14. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，关于的对称点为，过点作于点，连接，若为等腰直角三角形则的长为______． 15. 如图，正方形，点E在上，点F在上，连接，且，则的长为________． 16. 在正方形中，是的中点，、分别是边、上的动点，且交于，连接和，当时，则的最小值为__________． 三、解答题 17. 如图，以正方形的边为边，在外作等边，连接交于点F，求的度数． 18. 如图，点E是正方形边的中点，点在正方形的外角平分线上，且，点为边的中点，求证：． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．     (1)在图①中，以线段为一边，画一个菱形． (2)在图②中，画一个三角形，使得是这个三角形的中位线． (3)在图③中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 20. 综合与实践 数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题： 已知四边形与四边形都为正方形，P为的中点，连接，，如图1，当点E在上时，求证：． (1)独立思考：请你证明老师提出的问题； (2)合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明； (3)问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，与交于点H．若，，请直接写出的值． $$