22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计 2022--2023学年人教版数学九年级上册

22.2　二次函数与一元二次方程 教材分析 本课时主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系．教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系．这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容． 备课素材 一、导入新知 【情景导入】 某火车站欲建造一个圆形喷水池，如图，点O表示喷水池的水面中心，OA表示喷水柱子，水流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股水流在空中的路线都可以用y＝－x2＋x＋来描述，那么水池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不会落到池外？ 【说明与建议】　说明：通过对喷水池的实际问题的探究，建立二次函数与一元二次方程关系的模型，从而导出新课，制造悬念，使学生兴趣盎然地学习新课．建议：帮助学生把实际问题转化为二次函数问题的关键是弄清楚水流不会落到池外是什么意思，水流喷出的水平距离最远是多少，如何求，此时的函数值y是多少，为什么是0等问题． 【置疑导入】 多媒体演示：出示二次函数y＝x2－2x－3的图象，如图所示，根据图象回答： (1)当x为何值时，y＝0? (2)你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？ (3)二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间有什么关系？ 【说明与建议】　说明：通过对二次函数图象问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，增加对二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间关系的了解和认识．建议：引导学生观察二次函数的图象与x轴的交点坐标是什么，有什么意义，与一元二次方程的根有什么联系． 【类比导入】 (1)回忆：一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一次方程kx＋b＝0之间有何关系？ (2)观察：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在结构上有哪些相同之处？ (3)类比猜想：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0之间有何关系？ 【说明与建议】　说明：通过对一次函数y＝kx＋b与一次方程kx＋b＝0之间的关系的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0之间的关系．建议：引导学生明白一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是当y＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的特殊情形．进一步引入教材中的问题． 二、命题热点 命题角度1　根据二次函数与一元二次方程的关系解方程 1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是(D) A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根 命题角度2　根据二次函数与一元二次方程的关系判断b2－4ac(或其他代数式)的取值范围 2．(遂宁中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a＋b＞m(am＋b)(m≠1)； ⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2. 其中正确的结论有(A) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 命题角度3　根据抛物线与直线的交点情况求待定字母(或代数式)的值(或取值范围) 3．(河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或c＝4，则(D) A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 教学设计 课题 22.2　二次函数与一元二次方程 授课人 素养目标 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根；会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学重点 掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解. 教学难点 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 授课类型 新授课 课时 教学活动 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 问题： (1)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当 ①Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③Δ<0时，方程没有实数根． (2)一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点坐标是(，0)．任意的一次函数的图象与x轴有1个交点．师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，