22.2二次函数与一元二次方程 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

22.2二次函数与一元二次方程 人教版九年级上册 教材分析 函数与方程是初中阶段的重点内容。八年级下册学生学习了一次函数，研究了一次函数与一元一次方程(二元一次方程组)的联系，本节课加深函数与方程的联系，利用二次函数研究一元二次方程，用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。 教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 新知导入 1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是___________． 2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是____________． x＝1 x＝-2 3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？ 新知讲解 探究：以40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题: （1）小球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）小球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间? 新知讲解 [分析]由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系: h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程． [注意]根据实际问题，讨论h的取值． （1）解：当h=15时，20t-5t2=15， 解得，t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. 新知讲解 (2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 解方程： 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2. 当小球飞行2 s时，它的高度为20 m. 结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？ 新知讲解 (3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ 解方程： 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根. 即球的飞行高度达不到20.5 m. 结合图形，说明原因？ 新知讲解 (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ 解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0，t2=4. 当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到 到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面. 小球飞出时和落地时的高度都为0 m. 新知讲解 从以上可以看出： 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解. 例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解. 例如，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 新知讲解 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 （定值） 二次函数与一元二次方程的关系： 已知二次函数，求自变量的值 解一元二次方程的根 新知讲解 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 典例精析 二次函数y =x2+x-2，y=x2-6x+9，y =x2–x+1的图象如图所示. 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个