22.2二次函数与一元二次方程 教学设计 2023-2024学年人教版九年级数学上册

分课时教学设计 第五课时《22.2二次函数与一元二次方程》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 函数与方程是初中阶段的重点内容。八年级下册学生学习了一次函数，研究了一次函数与一元一次方程(二元一次方程组)的联系，本节课加深函数与方程的联系，利用二次函数研究一元二次方程，用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。 学习者分析 大多数学生已能理解一次函数与一元一次方程之间的联系，会利用方程求直线与x轴的交点坐标，会看函数图象，理解一元一次方程解的几何意义(与x轴交点的横坐标)。在掌握二次函数的图象与性质的基础上开展本节课的研究，要求学生用函数的角度看方程，体会数形结合在数学中的应用，充分发展学生的逻辑思维，养成思维严谨的好习惯。学生已经学习过二次函数的图象和性质，这是单纯从函数知识“形”的层面进行认识，本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数。 教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 教学重点 探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。 教学难点 用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是___________． 2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是____________． 3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？ 学生活动1： 教师提出问题，学生回答 1. x＝1 2. x＝-2 活动意图说明：复习回顾一次函数与一次方程的联系，由问题引出本节内容，为后面的学习奠定了基础. 环节二：新知探究 教师活动2： 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地需要多少时间？ 结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系. 从上面发现，二次函数与一元二次方程联系紧密。如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 学生活动2： 教师提出问题，学生积极回答问题 （1）解：当h=15时，20t-5t2=15， 解得，t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. (2) 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2. 当小球飞行2 s时，它的高度为20 m. (3) 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根. 即球的飞行高度达不到20.5 m. (4) 解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0，t2=4. 当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球 从飞出到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s 时小球落回地面. 教师提出问题，学生积极回答问题 活动意图说明：再现所学知识，前后对比复习，加深学生印象，为下面的探索奠定基础。 环节三：新知讲解 教师活动3： 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1