22.3实际问题与二次函数课件2023-2024学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数 人教版九年级上册 教材分析 二次函数的应用本身是学习二次图数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润学生易于理解和接受。目的在于让学生通过掌握求面积，利润最大这一类题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 教学目标 1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值． 2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 新知导入 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解：（1）y=6（x+1）2-6，抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标是（-1，-6）。 （1）y=6x2+12x （2）y=-4x2+8x-10 解：（2）y=-4（x-1）2-6，抛物线的开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标是（1，-6）。 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 函数y=6x2+12x有最小值，最小值y=-6，函数y=-4x2+8x-10有最大值，最大值y=-6。 新知讲解 【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【分析】画出函数的图象h=30t-5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 。 新知讲解 因此，当t=-=-=3时， h有最大值。 也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m。 新知讲解 一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=-时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值。 新知讲解 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化。当l 是多少米时，场地的面积S最大？ 矩形场地的周长是60m，一边长为l m，所以另一边长为（-l ）m。场地的面积S=l (30-l ), 即S=-l 2+30l(0＜l ＜30）。 因此，当l =-=-=15时，S有最大值==225，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大。 典例精析 例、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A B C D x x x x 24-4x 典例精析 解：1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6） 2）当x=-=3时，= = 36 ㎡ 3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8 ∴ 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 归纳总结 面积最值问题： ①找好自变量； ②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式； ③利用函数的最值解决面积最值问题。注意：自变量的取决范围。 新知讲解 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如果定价才能使利润最大？ 【销售最大利润问题关键】 通过售价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题。 新知讲解 1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本____________________元，因此周利润合计为: y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x) =-10x2+100x+6000 =+6250 (0≤x≤30) 当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。 10x 300-10x 60+x (60+x)(300-10x) 40×(300-10x) 新知讲解 2）设每件降价a元，则此时每星期