第16章 二次根式（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪教版）

第16章 二次根式（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点1：二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 【例1】（2021秋·上海静安·八年级上海市民立中学校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：A、是二次根式，不符合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、2是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，不符合题意； 【例2】当________时，二次根式在实数范围内有意义. 【答案】≥3. 【解析】根据二次根式的性质，必须≥0才有意义. 【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.: 【变式】①成立的条件是 . ②成立的条件是 . 【答案】① ≤0；(≤0.) ② 2≤.(2≤) 考点2：最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 【例3】下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】选项B：=；选项C：有分母；选项D：=，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式； （2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 【变式】（2022秋•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．＝＝3，选项A不符合题意； B．＝＝，选项B不符合题意； C．是最简二次根式，选项C符合题意； D．＝＝a2，选项D不符合题意； 故选：C． 3.同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【例4】（2022秋•青浦区期中）下列各根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、＝，与为同类二次根式； B、＝与不是同类二次根式； C、＝4与不是同类二次根式； D、＝2与不是同类二次根式； 故选：A． 考点2：二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3： （，）； 性质4：（，）． 【例:5】（2022秋•虹口区校级月考）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b 【解答】解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0， ∴＝﹣a+a+b＝b， 故选：D． 【变式】（2022秋•虹口区校级月考）已知，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【解答】解：等式左边＝|2﹣3|x||，它要等于2+3x，则x≤0且2+3x≥0，所以≤x≤0． 故选：B． 【例6】（2022秋•奉贤区校级期中）已知是正整数，则实数n的最大值为　　． 【解答】解：由题意可知12﹣n是一个完全平方数，且不为0，最小为1， 所以n的最大值为12﹣1＝11． 【变式】（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 【答案】5 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为5； 【例7】（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，则二次根式化简后的结果为（　　） A．a B．a C．﹣a D．﹣a 【解答】解：∵a＜0，﹣a2b≥0， ∴a＜0，b≤0， ∴＝﹣a． 故选：D． 【变式】（2022秋•嘉定区校级月考）化简：＝　　 ． 【解答】解：∵﹣a4b3≥0， ∴b≤0， ∴＝﹣a2b， 故答案为：﹣a2b． 【例8】（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么可