22.1.2 二次函数y＝ax²的图象和性质教学设计2023-2024学年 人教版数学九年级上册

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质 教材分析 《二次函数y＝ax2的图象与性质》是初中数学九年级上册二次函数的一节内容．本课是在学生掌握了二次函数的概念的条件下对二次函数y＝ax2的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的开口方向，对称轴，顶点坐标等性质．教学时注意强调二次函数的图象是一条平滑的曲线——“抛物线”；引导学生对二次函数图象和性质作归纳时要分类讨论，培养学生用数形结合的思想解决问题的能力． 备课素材 一、导入新知 【情景导入】 如图1，你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么那么准吗？观察投篮时篮球的运动路线，思考分析篮球的运动路线有何规律，怎样用数学规律来描述？ 图1 【说明与建议】　说明：通过对抛物线实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，增加对抛物线初步的了解和认识．建议：教师做模拟试验，直观展示投篮路径，更能激发学生对其路径的数学探究的欲望，让学生养成观察思考的好习惯． 【归纳导入】 (1)二次函数y＝x2的自变量的取值范围是什么？你能取完自变量x的所有值吗？如果不能，你认为在列出的表格中自变量x取哪些值合适？ 对于函数解析式y＝x2，选择x的适当值，并计算相应的y值，完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 　　(2)描点，观察这些点的摆放特点，能用一条直线将它们连接起来吗？如果不能，你准备用一条什么样的线将它们连接起来呢？ 图2 在图2所示的平面直角坐标系中描点并用平滑曲线连接各点． 【说明与建议】　说明：学生已经有画函数图象的经验和水平，掌握了画函数图象的一般步骤．本节通过画二次函数y＝x2的图象，引入本节新课，进而类比得出二次项系数不是1的情形及它们的性质．建议：先留给学生动手画图的时间，然后教师要引导学生分析二次函数y＝x2的性质，为进一步的学习积累数学活动经验． 二、命题热点 命题角度1　确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴、增减性、最值等 1．(1)函数y＝－3x2的图象开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0，0)，顶点是抛物线的最高点． (2)函数y＝4x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，0);__在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． 2．如图，观察函数y＝(k－1)x2的图象，则k的取值范围是k＞1． 命题角度2　二次函数y＝ax2的图象及其性质与几何综合 3．已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1＜y2.(填“>”“＝”或“<”) (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． 解：S阴影部分面积之和＝16. 命题角度3　综合考查二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b的图象及性质 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝－mx－m的图象可能是(C) A B C D 三、数学文化拓展阅读 汽车前灯中的数学 大家都知道汽车前照灯发出的光可以照亮车体前方的路况，使驾驶者可以在漆黑的夜晚安全地行车，保证视野清晰．如果你留心便会发现，汽车前灯后面的反射镜呈抛物线的形状．把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面，这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射距离很远的平行光束，又能发出较暗的、照射距离较近的光线． 我们都知道常规的前照灯主要由灯泡、反射镜和透镜三部分组成．明亮的光束是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们常称为远光灯；而较暗的光线是由于光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，若把向上射出的光线遮住，车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了． 由上面所知，汽车大灯反射镜射出的灯光是平行光束，我们可以知道汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，由抛物线的性质可知，经过反射镜的反射，能够沿着与抛物线的对称轴平行的方向发射出去平行光线，反之，与抛物线的轴平行的光线经旋转抛物面反射后，都聚集到抛物线的焦点上，这就是抛物线的光学性质，它被广泛应用于探照灯、汽车前灯、抛物面天线等方面． 教学设计 课题 22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质 授课人 素养目标 1．通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何