第二篇 专题05 解析几何-【师大金卷】2024高考数学一轮二轮衔接复习小卷练透阶段测试卷（新高考）

新高考数学２１— ２　 专题０５　解析几何 考向一　解析几何的长度与角度问题 １．(２０２３􀅰湖北省八市３月联考)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０) 的离心率为１ ２ ,且经过点 (１,３２) ,P,Q 是椭圆C 上的两点． (１)求椭圆C的方程; (２)若直线OP 与OQ 的斜率之积为－３４ (O为坐标原点),点D 为 射线OP 上一点,且OP→＝PD→,若线段DQ 与椭圆C 交于点E,设 QE→＝λED→(λ＞０)． ①求λ值; ②求四边形OPEQ 的面积． ２．(２０２３􀅰东北三省三校高三第一次联合)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０)过点A(３,－ ２),且渐近线方程为x± ３y＝０． (１)求双曲线C的方程; (２)如图,过点B(１,０)的直线l交双曲线C 于点M,N．直线MA, NA 分别交直线x＝１于点P,Q,求|PB||BQ| 的值． ３．(２０２３􀅰山东潍坊一模)已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的焦距 为２ ３,离心率为 ３２ ,直线l:y＝k(x＋１)(k＞０)与E 交于不同的 两点M,N． (１)求E 的方程; (２)设点P(１,０),直线PM,PN 与E 分别交于点C,D． ①判段直线CD 是否过定点? 若过定点,求出该定点的坐标;若 不过定点,请说明理由; ②记直线CD,MN 的倾斜角分别为α,β,当α－β取得最大值时, 求直线CD 的方程． 考向二　解析几何的最值与范围问题 ４．(２０２３􀅰四川省巴中市“一诊”)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０) 的左、右焦点分别为F１,F２,左顶点为D,离心率为 １ ２ ,经过F１ 的 直线交椭圆于A,B 两点,△F２AB 的周长为８． (１)求椭圆C的方程; (２)过直线x＝４上一点P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为 M, N,求S△DMN 的最大值． 说明:若点(x０,y０)在椭圆C: x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１上,则椭圆C 在点(x０, y０)处的切线方程为 x０x a２ ＋y０y b２ ＝１． ５．(２０２３􀅰江苏省南京市、盐城市期末联考)如图,已知椭圆x ２ ４＋y ２ ＝１的左、右顶点分别为A,B,点C是椭圆上异于A,B 的动点,过 原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M,N,AC 的中点为点 D,直线OD 与椭圆交于点P,Q,点P,C,M 在x 轴的上方． (１)当|AC|＝ ５时,求cos∠POM; (２)求|PQ|􀅰|MN|的最大值． ６．(２０２３􀅰辽宁省沈阳市教学质量监测(一))已知双曲线E:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为２,右焦点F到渐近线的距离为 ３,过 右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A,B 两点,交两 条渐近线于C,D 两点,点A,C在第一象限,O为坐标原点． (１)求双曲线E 的方程; (２)设 △OAC,△OAD,△OAB 的面积分别是S△OAC,S△OAD, S△OAB,若不等式λS△OAC􀅰S△OAD ≥S△OAB 恒成立,求λ的取值 范围． 新高考数学２１—１ 新高考数学２１— ４　 考向三　解析几何的定值与定点问题 ７．(２０２３􀅰河北唐山一模)已知双曲线E:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)过 点P(２,２),且P 与E 的两个顶点连线的斜率之和为４． (１)求E 的方程; (２)过点M(１,０)的直线l与双曲线E 交于A,B 两点(异于点P)． 设直线BC与x 轴垂直且交直线AP 于点C,若线段BC的中点为 N,证明:直线MN 的斜率为定值,并求该定值． ８．(２０２３􀅰重庆市第八中学适应性月考)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０)的实轴长为２ ２,右焦点F 到双曲线C 的渐近线距 离为１． (１)求双曲线C的方程; (２)点P 在第一象限,P,Q 在直线y＝１２x 上,点P,A,B 均在双 曲线C 上,且AQ⊥x轴,M 在直线AQ 上,P,M,B 三点共线．从 下面①②中选取一个作为条件,证明另外一个成立:①Q 是AM 的中点;②直线AB 过定点T(０,１)． ９．(２０２３􀅰湖南省张家界市一模)已知曲线C 的方程:x ２ ４－ y２ ５＝１ (x ＞０),倾斜角为α的直线l过点F２(３,０),且与曲线C相交于A,B 两点． (１)α＝９０°时,求三角形ABO的面积; (２)在x轴上是否存在定点M,使直线l与曲线C 有两个交点A, B的情况下,总有∠OMA＝∠OMB? 如果存在,求出定点 M;如 果不存在,请说明理由． 考向四　解析几何的探究与证明问题 １０．(２０２３􀅰云南昆明三