21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）教学设计2023-2024学年 人教版数学九年级上册

21.3　实际问题与一元二次方程 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 教材分析 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点．它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型． 备课素材 一、导入新知 【置疑导入】 如图，小明把一张边长为20 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子． (1)如果要求长方体的底面面积为256 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？ 长方体的底面积 256 196 144 100 64 36 16 4 正方形的边长 2 3 4 5 6 7 8 9 长方体的体积 512 588 576 500 384 252 128 36 【说明与建议】　说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，感受到数学的应用价值，并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具． 二、命题热点 命题角度1　列一元二次方程解决等积变形问题 1．用一条长60 cm的绳子怎样围成一个面积为200 cm2的矩形？设矩形的一边为x cm，根据题意，可列方程为(B) A．x(30＋x)＝200 B．x(30－x)＝200 C．x(x＋60)＝200 D．x(60－x)＝200 命题角度2　列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题 2．如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)? 解：设竖彩条的宽度是2x cm，横彩条的宽度是3x cm，则 (20－6x)(30－4x)＝×20×30. 解得x1≈0.61或x2≈10.2(舍去)． 3×0.61≈1.8(cm)，2×0.61≈1.2(cm)． 答：横彩条宽1.8 cm，竖彩条宽1.2 cm. 命题角度3　列一元二次方程解决存在性问题 3．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． (1)求y关于x的函数关系式． (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解：(1)y＝x(16－x)． (2)由(1)知，y＝x(16－x)． 当y＝60时，x(16－x)＝60.解得 x1＝6，x2＝10. ∴当x＝6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米． (3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由(1)知，y＝x(16－x)． 当y＝70时，x(16－x)＝70，即x2－16x＋70＝0. 因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0， 所以该方程无解． 即不能围成面积为70平方米的养鸡场． 命题角度4　列一元二次方程解决运动型问题 4．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向2 cm/s的速度向点A匀速运动，经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ 解：设经过t秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的. AM＝t，AN＝6－2t， AN·AM＝AD·AB，t·(6－2t)＝×3×6， t2－3t＋2＝0，t1＝2，t2＝1. 答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的. 三、数学文化拓展阅读 我国古代的一个一元二次方程 提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似． 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．这里，我们不谈杨辉的解法，只用已经学过的知识解决上面的问题． 设阔(宽)为x步，则长为(x＋12)步． 根据题意，列出方程x(x＋12)＝864. 展开，整理，得x2＋12x－864＝0. 解这个方程，得 x＝