21.2.2 公式法 教学设计 2022--2023学年人教版数学九年级上册

21.2.2　公式法 教材分析 一元二次方程的解法是初中代数的“方程”中的重要内容之一，而用公式法解一元二次方程是在学习了一元一次方程、因式分解、数的开方、二次根式的化简和直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上学习的，既是对已学知识的综合运用，同时也是后面用适当方法解一元二次方程及一元二次方程实际应用的基础，具有非常重要的作用． 用求根公式能解所有的一元二次方程，特别是对于根是无理数及a，b，c是无理数的方程，更体现了它的优越性及普遍性，是要求学生必须熟练掌握的一种解法．公式法的推导过程，既能让学生体会新旧知识的联系，同时也能锻炼学生逻辑思维能力及合作能力．本节课无论在知识学习还是能力培养上都有非常重要的作用． 备课素材 一、导入新知 【置疑导入】 在已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景． 解下列一元二次方程： (1)x2＋4x＋4＝0；(2)x2－6x＋1＝0；(3)4x2－16x＝1. 然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？ 接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程： (1)x2＋4x＋2＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)2x2－16x＝1. 思考1：变化前与变化后的方程的解答过程相比，有什么相同之处和不同之处？ 由学生的观察讨论得到：用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及方程的根． 思考2：方程的根不同的主要原因是因为系数发生改变，可否通过系数直接求解方程？ 【说明与建议】　说明：1.复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性，也存在着不同的现象，由此激发学生的求知欲望；3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系，从而引导学生去探究．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，为了节约时间，可以让学生分组解答，比如：将学生按列随机分成若干个组分别解答，再分别展示答案，充分让学生感受到解答过程的共性． 【复习导入】 (1)回忆用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ ①移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项．(注意移项要变号) ②系数化1：把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数，注意不要漏项) ③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方．(注意分数的平方要加括号) ④变形：方程左边因式分解，右边合并同类项，使方程转化为(x＋n)2＝p的形式．(当p≥0时，方程有实根；当p＜0时，方程无实根) ⑤开方：根据平方根的意义，方程两边同时开平方．(注意别漏了正负号，带根号的根式应化成最简一次根式) ⑥求解：解一元一次方程． ⑦定解：写出原方程的解． (2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 移项，得ax2＋bx＝－ C．二次项系数化为1，得x2＋x＝－． 配方，得x2＋x＋()2＝－＋()2，即(x＋)2＝. 因为a≠0，所以4a2＞0. 当b2－4ac＞0时，得x＋＝±，所以x＝－±， 即x1＝，x2＝. 当b2－4ac＝0时，得x1＝x2＝－. 当b2－4ac<0时，方程无实数根． 【说明与建议】　说明：以设问方式让学生回顾旧知，既培养学生的语言表达能力，又加深学生对配方法的理解，为推导公式法做准备．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习，老师巡堂并适时点拨，注意对学习有困难的学生进行辅导，对表现比较突出的学生及时进行鼓励． 二、命题热点 命题角度1　利用Δ判断一元二次方程根的情况 b2－4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况，很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况：若b2－4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；若b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 1．一元二次方程x2＋3x＋4＝0的根的情况是(A) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0(k为实数)根的情况是(A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3．已知关于x的方程x2－(m＋1)x＋2(m－1)＝0.试说明：无论m取任何实数值，方程总有实数根． 证明：∵在关于x的方程x2－(m＋1)x＋2(m－1)＝0中， Δ＝b2－4ac＝(m＋1)2－8(m－1)＝m2＋2m＋1－8m＋8＝m2－6m＋9＝(m－3)2≥0， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根． 命题角度2　利用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化，规范性要求较高，在代入公式求值前必须通过Δ的值来判断方程解