第十三章 轴对称 专题复习课件 2022-2023学年人教版八年级数学上册

综合专题讲解 第十三章 轴对称 专题目录 专题二：坐标与图形的变化 专题一：与等腰三角形有关的辅助线的作法 专题三：将军饮马模型 专题一：与等腰三角形有关的辅助线的作法 ◆类型一　利用“三线合一”作辅助线 一、底边有中点，作中线 模型：作中线用“三线合一”． 条件：AB＝AC，BD＝CD. 结论：AD⊥BC，∠1＝∠2. 例1 如图，在△ABC 中，CA＝CB，D 是 AB 的中点，∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE. 证明：如图，连接 CD. 在Rt△FCD 和 Rt△ECD 中， CF＝CE，CD＝CD， ∴Rt△FCD≌Rt△ECD(HL)． ∴∠CDF＝∠CDE. ∴∠CDA－∠FDC＝∠CDB－∠CDE，即∠ADF＝∠BDE. ∴∠CDA＝∠CDB＝90°. ∵CA＝CB，D 是 AB 的中点，∴CD⊥AB. 1. 已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D 为 BC 的中点．(1)如图①，若点 E，F 分别为 AB，AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么 BE＝AF 吗？请利用图②说明理由． 图① 图② (1)证明：连接 AD，如图 ① 所示． ∴∠BDE＝∠ADF. ∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠FAD.∴BD＝AD. ∵点 D 为 BC 的中点， ∴△ABC 为等腰直角三角形，∠B＝45°. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△BDE≌△ADF(ASA)．∴BE＝AF. 在△BDE 和△ADF 中， ∠B＝∠FAD， BD＝AD， ∠BDE＝∠ADF， (2)解：BE＝AF.理由如下：连接 AD，如图 ② 所示． ∴△EDB≌△FDA(ASA)．∴BE＝AF. 在△EDB 和△FDA 中， ∠EBD＝∠FAD， BD＝AD， ∠EDB＝∠FDA， ∴∠EDB＝∠FDA. ∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°， ∴∠EBD＝∠FAD＝135°. ∵∠ABD＝∠BAD＝45°， 二、底边无中点，作垂直 结论：BD＝CD，∠1＝∠2. 模型：作垂直用“三线合一”． 条件：AB＝AC，AD⊥BC. 例2 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. 若 AD＝AE，求证：BD＝CE. 证明：如图，过 A 作 AF⊥BC 于 F， ∴BD＝CE. ∴BF－DF＝CF－EF. ∴BF＝CF，DF＝EF. ∵AB＝AC，AD＝AE， 2．如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且 EA＝EC.求证：EB⊥AB. 证明：如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB. ∵EA＝EC， ∴EB⊥AB. ∴△BAE≌△FAE(SAS)． ∴∠ABE＝∠AFE＝90°. 在△BAE 和△FAE 中， AB＝AF， ∠BAE＝∠FAE， AE＝AE， 三、遇与角平分线垂直的线段，延长构等腰 结论：△ACE 是等腰三角形，AE＝AC. 模型：角平分线＋垂线，延长线段构造等腰三角形． 条件：AD平分∠BAC，AD⊥CD. 例3 【情景观察】如图①，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为 D，E，CD 与 AE 交于点 F. ① 写出图 ① 中所有的全等三角形：_______________； ② 线段 AF 与 CE 的数量关系是:__________ . 【问题探究】如图②，△ABC 中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD 平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E.求证：AE＝2CD. △ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB AF＝2CE 图① 图② 证明：如图，延长 AB，CD 交于点 G. ∴CD＝GD，即 CG＝2CD. ∴△ADC≌△ADG(ASA)． 在△ADC 和△ADG 中， ∠ADC＝∠ADG， AD＝AD， ∠CAD＝∠GAD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°. ∵AD⊥CD， ∵AD 平分 ∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD. ∴∠ABC＝90°.∴∠CBG＝90°. ∴AE＝CG＝2CD. ∴△ABE≌△CBG(ASA)． ∴∠BAE＝∠BCG. ∵∠G＋∠BAE＝90°， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°. ∴∠G＋∠BCG＝90°. 在△ABE 和△CBG 中， ∠ABE＝∠CBG， AB＝CB， ∠BAE＝∠BCG， ◆类型二　截长补