第三讲 空间向量的应用讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三讲：空间向量的应用1 【板块一】用向量刻画线与面 空间直线的向量表示式 取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使_________，①取，代入①式，得__________________，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 平面的法向量 如图，直线，取直线l的方向向量，称向量为平面的_________． 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合__________________． 例1、已知平面，写出平面的一个法向量______． 变式1-1、如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 问题一：立体几何中我们需要研究什么问题？ 问题二：我们在空间向量中有了哪些工具？ 问题三：我们如何借助这些工具来解决这些问题？ 板块二】平行与垂直 例2、已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①；②；③；④. 变式2-1、在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点， (1)求证：平面ADE； (2)求与所成的角的大小. 变式2-2、如图，在四棱锥中，平面PAB，平面PAB，．． (1)求证：平面平面ABCD； 变式2-3、在长方体中，，线段上是否存在点，使得平面？ 【板块三】距离问题 例3、（1）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________． （2）已知平面的一个法向量(3，4，0)，点A(-1，1，1)在内，则P(1，2，3)到的距离为（       ） A． B．2 C．4 D． 变式3-1、（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法错误的是（        ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 变式3-2、如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______. 【板块四】角度问题 线面角与二面角 图示 公式 ___ ___ 定义 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角 称为平面与平面的夹角 图示 公式 例4、判断正误 （1）两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( ) （2）直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角．( ) （3）二面角的大小为，平面，的法向量分别为，，则．( ) 变式4-1、（1）若空间直线与所成的角为，它们的一个方向向量分别为与，向量与的夹角为，则与的关系是：______，即______； （2）若直线与平面所成的角为，向量是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，与的 为，则与的关系是：______，即______. （3）二面角的大小与两平面法向量的夹角之间的关系为______. 例5、如图，几何体是正方体被经过三个顶点的平面截去一个正三棱锥后剩余的部分，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 变式5-1、如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【课后作业】 1、（多选）直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（       ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面，所成二面角的大小为 2、在空间直角坐标系中，经过点，以为法向量的平面方程为，经过点，且一个方向向量为的直线方程为.已知在空间直角坐标系中，平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 3、如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（       ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 4、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 1 $$