第一讲 空间向量及其运算讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一讲：空间向量及其运算 【板块一】概念及运算法则 名称 定义 空间向量 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的______ 单位向量 长度或模为______的向量 零向量 ______的向量 相等向量 方向______且模______的向量 相反向量 ______相反且______相等的向量 例1、下列说法正确的是（       ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 例2、如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（          ） A． B． C． D． 变式2-1、如图所示，已知是平行六面体． (1)化简； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值． 例3、正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为 ． 变式3-1、如图，在正四面体ABCD中，若E是BC的中点，则（       ） A． B． C． D．与不能比较大小 【板块二】数量积的应用 例4、如图在平行六面体中，，，则的长是_________． 变式4-1、如下图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，，将沿对角线AC折起，使，则点B，D间的距离为（       ） A．2 B． C． D． 变式4-2、如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 变式4-3、如图，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起． (1)若与成角，求； (2)判断与能否互相垂直，给出你的结论并加以证明． 变式4-4、在四面体中，，.求证：. 【板块三】共线与共面相关 （1）如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量. （2）如果表示向量的有向线段所在的直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做 . 可以发现，如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 例5、（多选）下列四个命题，其中真命题是（       ） A．若与共面，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则与共面 C．若存在实数，使，则点共面 D．若点共面，则存在实数，使 变式5-1、如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）求证：平面EFGH； （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有. 例6、（1）已知为空间任意一点，不共线，求证：三点共线的充要条件是存在实数，使得，且. （2）已知为空间任意一点，不共面，求证：四点共面的充要条件是存在实数，使得，且. 变式6-1、对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 变式6-2、在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 变式6-3、已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 变式6-4、在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______． 【课后作业】 1、在下列命题中： ①若向量，共线，则向量，所在的直线平行； ②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面； ③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ④已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x＋y＋z． 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ） A． B． C． D． 3、（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（       ） A． B． C．的长为 D． 4、在四面体中，，分别是的中点.求证：四边形是矩形. 5.两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和，使，且.已知，求线段的长. 1 $$