13 .4 课题学习 最短路径 学案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

最短路径 基本模型 1、在直线1上有一动点P,若点P满足PA十PB最短，则画出点P的位置： 2、在直线上有一动点P,若点P满足PA=PB最短，则画出点P的位置： 3、在直线I上有一动点P,若点P满足PA最短，则画出点P的位置： *4、点M、N为∠AOB两边OA、OB上的动点，点P为定点，若PA十MN最短，则画出 点M、N的位置： 5、在直线I上有一动点P,若点P满足PA十PB最短，则画出点P的位置： *6、在直线上有一动点P,若点P满足|PA一-PB|最长，则画出点P的位置； 1 *7、点M、N为∠AOB两边OA、OB上的动点，点P为定点，若PA十PN+MN最短，则 画出点M、N的位置； 8、点M、N为∠AOB两边OA、OB上的动点，点P、点Q为两个定点，若PQ十PM+MN +PN+NQ最短，则画出点M、N的位置； 9、点M、N为∠AOB两边OA、OB上的动点，点P、点Q为两个定点，若NQ十QP+PM 最短时，则画出M、N的位置。 10、点P、点Q分别在两条平行线a、b上，若AP+PQ十QB最短时，则画出P、Q的位 置。 11、点P、点Q在直线I上，且IPQ|等于定值m,若AP+PQ+QB最短时，则画出P、 Q的位置。 12、点P、点Q在直线I上，且|PQ|等于定值，若AP+PQ十QB最短时，则画出P、 Q的位置。 基础练习 1、小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A、B提供牛奶，要使A、B两小区到 送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在(). 居民区A 居民区A 居民区B aH- 居民区B 街道 A: C 街道 B: 居民区A 居民区B 居民区A 居民区B 街道 C 街道 C: D: 2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个 4 点均在格点上，且点A坐标为（一2,1），点B 3 坐标为（一3,4），点C坐标为（一5,2）。 2 (1)请画出△ABC关于y轴对称的△ABC1, A 点A的坐标为； -5-43-2-1Q 12. 345x (2)若△A,B,C,与△ABC关于点O成中心对 称，画出△A,B,C,;并直接写出点B,的坐标 为 L (3)在x轴上找一点P,使得PA十PC最短， 请画出点P所在的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）。 3、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, AB=5,AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD和AC 上的动点，则PC十PQ的最小值为 4、在平面直角坐标系中，点A(1,4),B(一3,1)，若点P为x轴上一个动点，则PA十PB 的最小值为 D E 5、如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°， E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，则 ∠EAF的度数为。 C 典例精析 类型一几何图形问题 例1：如图，在△ABC中，AB⊥AC,AB=3, BC=5,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线 EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 0 B 例2：如图，在△ABC中，AB=12,BC=7,AM平分∠BAC, ∠BAM=15°，点D、E分别为线段AM、AB上的动点，则 BD十DE的最小值是 D M 例3：如图，P为∠AOB内一定点，点M、 A N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN M 周长最小时，∠MPN=100°，则∠AOB= N B 【变式练习1】：如图，R△ABC中，∠C=90°，点D为AB上一点， DE∥CB,交AC于点E,点P是EC上的一个动点，要使PD十PB最小， 则点P应该满足() A:PB=PDB:PC=PEC:∠BPD=90° D:∠CPB=∠DPE 【变式练习2】：如图，在△ABC中，AC=7,△ABC 的面积为14，AD平分∠BAC,M、N分别是AD和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是 4 【变式练习3】：如图，∠AOB=30°，M、N分别为射线 OA、OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM、PN、 N,若OP=5,则△PMN周长的最小值为 【变式练习4】：如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB= D 60,PD⊥OA于D,点M在OP上，且DM=MP=6,若C是 OB上的动点，则PC的最小值是 0 B 类型二坐标问题 例4：平面直角坐标系中有一动点M,两个定点A(4,3),B(1,2),则根据下列条件求 SABw的最小值。 (1)如图1，若动点M在y轴上，则SMABM的最小值为 (2)如图2，若动点M在x轴上，则SM的最小值为 A(4.3) A(4.3) B(2.1) /B(2.10 1 (2) 例5：两动点M、N,A(5,5),B(2,2) (1)如图1，若动点M在y轴上，点N在x轴上，则AM+MN+NA的最小值为 (2)如图2，若动点M、N均在x轴上，且MN=2,则AM+MN+N