1.5两条直线的交点坐标（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

1.5 两条直线的交点坐标 问题1：平面内两条直线的位置关系有哪些？ 问题2：若两条直线相交，如何求它们的交点坐标呢？ 两条直线的位置关系 平行 相交 重合 l2 l1 P l1 l2 每条直线都对应一个二元一次方程.两条直线是否有交点，等价于两个二元一次方程联立时是否有唯一解. 若不平行，则相交，存在交点 求交点坐标，化为代数问题 @demon 探究新知 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系. 引入新课： L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 （k1,k2均存在） L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0 （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0） 平行 k1=k2且b1≠b2 重合 k1=k2且b1=b2 相交 k1≠k2 垂直 k1k2=-1 判断两条直线的位置关系有以下结论： 温故知新： 　　我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦 成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？ A2x+B2y+C2=0 A1x+B1y+C1=0 l1： l2： 设两条直线方程为： 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线　和　的交点． 思考：若方程组没有公共解呢，两直线应是什么位置关系？ 　　　 方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解 两条直线l1, l2的公共点 直线l1, l2间的位置关系 一组 无数组 无解 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系 总结提升： 思考：两直线是什么位置关系？如何求其交点的坐标？ 相交，求交点的坐标就是求方程组的解 2 x y 0 2 在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图象 联立方程消元 两条直线的交点坐标 思考： 几何元素及关系 代数表示 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A A(a,b) l:Ax+By+C=0 点A 直线l Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组 的解 结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系 ï î ï í ì Û ï î ï í ì 平行 重合 相交 无解 无穷多解 唯一解 2 1 2 1 2 1 , , , l l l l l l 例1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0. 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0 ∴l1与l2的交点是M（- 2，2） x= －2 y=2 得 例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0. 解：解方程组 x－2y+2=0 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1， 所求方程为 y= x x= 2 y=2 得 例3：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0; 解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2） （２）方程组无解，两直线无交点。 l1‖l2 （３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交点。 l1与l2重合 例4： 已知方程组 A1x+B1y+C1=0 （1） A2x+B2y+C2=0 （2） 小结：两条直线的位置关系 当 时，两条直线相交，交点坐标为 探究：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线 证明：联立方程 3x+2y－1=0 2x－3y－5=0 o x y (1, - 1) M 解得： x=1 y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 得 0+λ·0=0 ∴M点在直线上 A1x+B1y