第3章 3.3 垂径定理(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学同步教案(北师大版)

3 垂径定理 课题 圆的对称性 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P74-77 教学目标 探索并证明垂径定理，发展推理能力。 教学重难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及运用垂径定理及其逆定理解决有关问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 同学们知道赵州桥吗？1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，同学们知道桥拱所在圆的半径是多少吗？想不想知道？ 师生活动：利用多媒体播放赵州桥相关视频、图片，让学生体会古代人们设计桥梁的技术与智慧，教师引出课题。 通过今天这节课的学习，我们来探究圆的对称性。（板书课题：垂径定理） 以石拱桥为背景，创设情境，让学生领略古人建造石拱桥的智慧，渗透数学与生活息息相关的思想，引出本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】探索垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。（多媒体呈现） （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 教师活动：提出问题，教师引导学生总结出垂径定理。 学生活动：然后交流讨论，学生代表回答。 学生：（1）是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线。 （2）等量关系有OC=OD，∠AMO=∠BMO=∠AMC=∠BMC=90°，AM=BM，=，=。 理由：因为OC，OD都是圆的半径，所以OC=OD； 因为CD⊥AB，所以∠AMO=∠BMO=∠AMC=∠BMC=90°； 通过折叠发现AM=BM，=，=。 教师：同学们，还有其他方法说明AM=BM，=，=吗？ 学生：连接OA，OB，则OA=OB。 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=ON，∴Rt△OAM≌Rt△OBM。 ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC。∴=。 ∵∠AOD=180°－∠AOC，∠BOD=180°－∠BOC， ∴∠AOD=∠BOD。 ∴=。 教师：同学们，这里的弦AB可以是直径吗？ 学生：可以是直径，当AB是直径时，∠AOC=∠BOC=∠AOD=∠BOD=90°，所以===。 教师：同学们可以把圆的这种性质通过文字语言表述出来吗？ 学生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 教师活动：板书或多媒体呈现垂径定理。 【探究2】垂径定理逆定理以学生为主体，引导学生类比垂径定理的探究方法，自主探究得出垂径定理的逆定理。 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。（多媒体呈现） 学生活动：思考交流讨论，模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，然后板演展示。 教师活动：巡视指导，在学生回答基础上引导学生提炼并总结出垂径定理的逆定理。 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 教师追问：为什么这里被平分的弦不可以是直径？ 学生：因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图,点O是所在圆的圆心），其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径。引导学生通过利用勾股定理解决实际问题，感受应用垂径定理的一般场景。 解：连接OC。设弯路的半径为R m，则OF=（R－90）m。 ∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）。 在Rt△OCF中，根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R－90）2。 解这个方程，得R=545。 所以，这段弯路的半径为545 m。 在教师引导下探究垂径定理，培养学生独立探究问题和解决问题的能力，在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力，体会研究图形的多种方法。 3.学以致用，应用新知 考点 垂径定理及其推论 随堂练习 1，2 【变式训练】 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是（　　） A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5 答案：D 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（　　） A． B．6 C． D．8 答案：B 2. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连