第1章 1.4 解直角三角形(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学同步教案(北师大版)

4 解直角三角形 课题 解直角三角形 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P16-18 教学目标 1.了解解直角三角形的含义。 2.经历解直角三角形的过程, 掌握解直角三角形的方法。 教学重难点 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素。 难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题。 教学准备 多媒体课件、三角尺、直尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图，现有一个长6 m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)？ （2）当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 学生：解：（1）由题意，得6×sin75°≈5.8 m。 （2）由题意，得cos α==0.4,cos 0.4≈66°。可以安全使用。 教师:在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题。为了解决这些问题，则往往需要确定直角三角形的边或角。 我们知道，直角三角形有三条边和三个角，一共6个元素，那么除直角以外，当我们至少知道几个元素时，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题。 （教师板书课题： 4 解直角三角形） 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对解直角三角形的探究. 2.实践探究，学习新知 【复习回顾】 教师：在Rt△ABC中，∠C=90°。a，b，c，∠A，∠B这些元素间有哪些等量关系呢？谁来说说它们各角、各边以及边角之间有什么关系？（多媒体呈现） 学生：（1） 两锐角互余：∠A+∠B=90°； （2） 三边满足勾股定理：a2+b2=c2； （3） 边与角的关系： sin A=cos B= ；sin B=cos A= ；tan A= ；tan B= 。 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答，多媒体呈现。 【探究1】 对于一个直角三角形，如果5个元素中已知一个元素，能求出其他的元素吗？ 如图Rt △ABC 中, ∠C= 90° 。 （1） ∠A=30°,你能求出其他剩下的元素吗？ （2）如果一条边的长为3 cm，你又能求出其他元素吗？（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答。 学生：（1）只可以求出∠B=60°；（2）不能求出其他元素。 教师：当我们只知道直角以外的1个元素时，无法全部求出剩余的4个元素。 【探究2】 如果5个元素中已知两个元素，能求出其他的元素吗？ 在Rt△ABC中, （1）根据AC=，BC=，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （2）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗? （3）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?（多媒体呈现） 师生活动：教师出示问题，学生思考讨论，学生黑板演示，教师引导讲解。 学生：（1）能。在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2，AC=，BC=，∴AB=。在Rt△ABC中，，∴∠A=60°，∠B=30°。 （2）能。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°。 ∵，AB=30，∴BC=ABsin A=。 ∵，AB=30，∴AC=ABsin B=。 （3）不能求出三角形的边长。 教师（概念引入）：我们可以发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，像这样的，由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 【例题讲解】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，求这个三角形的其他元素. 师生活动：学生思考解题，板书呈现，教师补充讲解。 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理，得a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴c＝＝2。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝， ∴∠B＝30°，∠A＝60°。 【归纳总结】 （多媒体呈现） 师生活动：教师引导学生归纳在已知条件下如何解直角三角形，部分情况求解方法很多，可引导学生思考各方法之间的差异和共性。 通过回顾旧知，达到学以致用的目的，再通过一道例题，真正把学到的知识用到实处，通过解题，归纳出解直角三角形的定义。 引导学生探索，在至少知道几个元素的情况下可以求得直角三角形中的剩余元素（解直角三角形），进而引出解直角