第4章 7 相似三角形的性质(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级上册数学同步教案(北师大版)

7 相似三角形的性质 课题 第1课时 相似三角形中对应线段的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P106-107 教学目标 1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题。 2.培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质。 教学重难点 重点：明确相似三角形中对应线段与相似比的关系。 难点：能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题。如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱。 教师提问：相似吗？为什么？ 学生回答：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠A=∠A′。 又∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′， ∴∠ADC=∠A′D′C′。 ∴△ACD∽△A′C′D′。 教师追问：如果相似，它们的相似比是多少？ 学生回答：1∶2。 教师追问：如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 学生回答：∵，CD=1.5 cm， ∴C′D′=3 cm。 教师提问：同学们能发现相似三角形有怎样的性质？ 这节课，我们来学习相似三角形的性质。（教师板书课题： 第1课时 相似三角形的性质） 通过学生熟悉的建筑模型房入手，从相似三角形的最基本性质展开研究。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 想一想： 已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k。 教师提问：它们对应高的比是多少？ 学生活动：有了前面情境导入，学生很容易能回答出：它们对应高的比为k。 总结：相似三角形对应高的比等于相似比。 教师提问：对应角平分线的比是多少？ 教师活动：教师可以给出图形、已知条件和问题，鼓励学生自主探究。 根据“想一想”已知。 AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E，E′分别为BC，B′C′的中点。试探究AD与A′D′的比值关系，AE与A′E′呢？ 师生活动：教师鼓励学生类比探究，小组合作，分组给出猜想并证明自己的猜想。 预设：猜想1：=k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，=k。 ∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′。 ∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 猜想2：=k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B′，=k。 ∵E，E′分别为BC，B′C′的中点， ∴，。 ∴。 ∵=k， ∴=k。 ∵∠B=∠B′， ∴△BAE∽△B′A′E′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 总结：相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。 【归纳总结】 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 【探究2】 议一议： 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上。 教师提问：若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？ 预设：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，=k。 ∵∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′。 ∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 教师提问：若BE=BC，B′E′=B′C′，则等于多少？ 预设：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B′，=k。 ∵BE=BC，B′E′=B′C′， ∴。 ∵=k， ∴=k。 ∵∠B=∠B′， ∴△BAE∽△B′A′E′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 教师提问：同学们还能提出哪些问题？与同伴交流。 教师活动：鼓励学生大胆提出问题，发展他们发现问题、提出问题的能力。对于有困难的学生，教师可进行适当的引导。例如：可这样启发学生：问题（1）中，若将换成，，结论还成立吗？若换成（k≠0）呢？你的理由。同样，将问题（2）中的也进行这样的变化，结论还成立吗？问题（1）中的线段AD与A'D'、问题（2）中的线段AE与A'E'有什么共同的特点？ 总结：相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比。 【教材例题】 例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR=BC时，求DE的长。如果SR=BC呢