第1章 1.4 角平分线(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年八年级下册数学同步教案(北师大版)

4 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 课题 第1课时 角平分线的性质与判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P28-30 教学目标 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法. 教学重难点 重点：角平分线性质定理及其逆定理的证明，运用定理解决相关问题。 难点:正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的P处。勤劳的小牛准备开垦这块土地，为了便于取水灌溉，小牛想从自己的家（P处）修建两条小路分别通向两条小河。可小牛不知道怎样修才能使两条小路最短？并且想知道它们又有怎样的数量关系？你愿意帮助小牛解决问题吗？ 师生活动：猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （板书课题：第1课时 角平分线的性质与判定） 通过问题情景，复习了点到直线的距离，并从实际问题抽象出“点到直线的距离，垂线段最短”这一数学建模，使学生学习本节知识有了一个有效的切入点.从而引导学生思考角平分线的性质，使学生感受到学习角平分线的性质是实际需要，进而引出对角平分线性质的探讨. 2.实践探究，学习新知 【探究1】探索角平分线的性质定理 师生活动： 做一做：学生拿出准备好的三角形纸片，带着问题去折叠。 1、在三角形纸片中，选定其中一个角，折出表示角平分线折痕.（把纸片对折，使角的两边叠合在一起） 2、折出表示最短距离的折痕.(把对折后的纸片继续折一次，使第一条折痕为斜边，折出一个直角三角形) 3、将折叠好的纸片展开，观察两次折叠所形成的三条折痕. 教师提问： 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 【归纳总结】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【探究2】证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 师生活动：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．并规范书写格式. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． 教师追问：你能用几何语言来表示角平分线的性质定理吗？ 角平分线的性质定理的几何语言表示： ∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴PD=PE. 【归纳总结】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【探究3】探索角平分线的判定定理 教师提问：1.你能写出上面这个定理的逆命题吗? 2.它是真命题吗?你能证明它吗? 师生活动：引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线的判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 【归纳总结】在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 【探究4】证明角平分线的判定定理 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 师生活动：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．并规范书写格式. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E， ∴∠ODP=∠OEP=90°． ∵PD=PE，OP=OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）． ∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）． ∴OP平分∠AOB． 教师追问：你能用几何语言来表示角平分线的判定定理吗？ 学生总结： 角平分线的判定定理的几何语言表示： ∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP平分∠AOB． 【教材例题】 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长. 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导. 解：∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10， ∴DE=