第1章 1.3 线段的垂直平分线(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年八年级下册数学同步教案(北师大版)

3 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 课题 第2课时 线段垂直平分线的性质与判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P22-24 教学目标 1.知识与技能 （1）要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题； （2）能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理. 2.过程与方法 （1）经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力； （2）体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神； （3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3.情感态度及价值观 （1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲； （2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重难点 重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 难点：（1）写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它． （2）用尺规作线段垂直平分线． 教学准备 教师准备：课件、多媒体；学生准备：三角尺 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 中卫金沙岛风景优美，其中薰衣草园、玫瑰园让不少游客流连忘返，为了方便游客旅行，计划在湖边修一个观光车车站，使它到薰衣草园和玫瑰园的距离相等，观光车车站应建在什么位置? A熏衣草园 B玫瑰园 1.所建观光车车站满足什么条件？ 2.满足这个条件的点在什么地方？为什么？ 3.你是怎么知道这个结论的？ 师生活动：学生回忆讨论,得出结论：观光车车站应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上． 教师追问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” （板书课题：第1课时 线段垂直平分线的性质与判定） 通过问题情景，引导学生回顾七年级学习的线段的垂直平分线，从而引入本节课的主题——线段的垂直平分线. 2.实践探究，学习新知 【探究1】证明线段的垂直平分线的性质定理 师生活动：教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 教师点拨：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 【归纳总结】 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 【探究2】线段的垂直平分线的判定定理 教师提问： ①你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……，那么……”的形式吗？ ②你能写出上面这个定理的逆命题吗?最后再把它的逆命题写出来. ③它是真命题吗?如果是，请你加以证明. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意引导学生分析证明线段的垂直平分线的判定定理. 归纳总结有如下三种证法： 证法一： 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明：如图，过点P作已知线段AB的垂线PC, ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上． 证法二：如图，取AB的中点C，过PC作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB. ∴P点在AB的垂直平分线上． 证法三：如图，过P点作∠APB的平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC， △APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB (全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 【归纳总结】 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【教材例题】 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC． 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导. 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容，并自主证明