专题2-7 导数不等式证明18种题型归类 （讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 2.-7导数不等式证明18种题型归类 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 不等式证明基础 · 【题型二】 三角函数型不等式证明 · 【题型三】 数列“累加型”不等式证明 · 【题型四】 双变量构造换元型不等式证明 · 【题型五】 同构型不等式证明 · 【题型六】 双变量“比值代换”型不等式证明 · 【题型七】 凸凹反转型不等式证明 · 【题型八】 极值点偏移型不等式证明 · 【题型九】 “极值型偏移”不等式证明 · 【题型十】 三角函数型极值点偏移不等式证明 · 【题型十一】三个零点型不等式证明 · 【题型十二】三个极值点型不等式证明 · 【题型十三】系数不一致型不等式证明 · 【题型十四】极值构造（利用第一问结论） · 【题型十五】先放缩型不等式证明 · 【题型十六】切线放缩型不等式证明 · 【题型十七】利用韦达定理置换型不等式证明 · 【题型十八】泰勒展开型不等式证明 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 1、应用导数证明不等式基础思维： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同． 3、泰勒公式形式： 泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法. 若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式： 其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量. 4.常见函数的泰勒展开式： （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 5、麦克劳林(Maclaurin)公式 虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到. 6、常见函数的麦克劳林展开式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 7、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用） （1）、对数型超越放缩：（） （2）、指数型超越放缩：（） 8.极值点偏移问题的一般题设形式： （1）. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； （2）. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； （3）. 若函数存在两个零点且，令，求证：； （4）. 若函数中存在且满足，令，求证：. 热点考题归纳 【题型一】不等式证明基础 【典例分析】 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 【提分秘籍】 利用导数证明不等主要方法有两个： 一、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可； 二、较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 【变式演练】 1.（甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学（文）试题）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值； （2）证明：． 2.已知函数. （1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围； （2）若且，求证：. 【题型二】三角函数型不等式证明 【典例分析】 （北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题）已知函数（其中）． (1)若，判断函数在上的单调性； (2)若，判断函数零点个数，并说明理由； (3)若，求证：． 【变式演练】 （江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)证明：. 【题型三】数列“累加型”不等式证明 【典例分析】 （2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数. (1)若，求实数a的值； (2)已知且，求证：. 【提分秘籍】 涉及到三角函数型不等式证明，证明思路和基础不等式导数证明思路一致，对于三角函数，主要是正余弦，要充分利用正余弦函数的有界性。 【变式演练】 （2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数. (1)证明：； (2)证明：. 【题型四】双变量构造换元型不等式证明 【典例分析】 （2021·黑龙江·校联考模拟预测）已知. （1）求关