第7课时 一元二次方程的根与系数的关系(内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级上册数学同步课件PPT（人教版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·九年级·上册·配人教版（内文） 第二十一章 一元二次方程 第7课时 一元二次方程的根与系数的关系 1.将方程(x－3)(x－5)＝0化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为____________________. 2.将方程x2＝2x化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为____________________. a＝1，b＝－8，c＝15 a＝1，b＝－2，c＝0 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根, 分别为x1，x2，则x1＋ x2＝______，x1x2＝______. 知识点一：根与系数的关系 3. 方程x2－5x－6＝0的两根之和为( ) A. －6 B. 5 C. －5 D. 1 4.一元二次方程x2－3x＝4的两根分别为x1和x2，则x1x2为( ) A. 3 B. －3 C. 4 D. －4 B D 先将代数式变形，转化为用两根之和(或积)表示的 式子，再把x1＋ x2＝______,x1x2＝______整体代入，计算求值即可. 最常见的变形有：x12＋ x22＝ __________________，＋＝____________. 知识点二：利用根与系数的关系求代数式的值 (x1＋ x2)2－2x1x2 5. 若方程x2＋8x－4＝0的两个根分别为x1,x2，则＋的值为______. 6. 若方程x2－2x－1＝0的两根分别是x1，x2，则 x12＋x22 的值为( ) A. 4 B. 6 C. 18 D. 16 2 B 解决此类问题时，切勿忽略以下前提条件：一元二次方程的二次项系数不为______且方程必须有______. 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系的综 合运用 零 根 7. 关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根， 则a的取值范围是_____________________. a≤且a≠0 【例1】（RJ九上P16例4改编）下列方程的两根为x1，x2，不解方程，根据根与系数的关系填表. 思路点拨：先找出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的a,b,c的值，再代入x1＋x2＝－, x1x2＝计算即可. 方程 x1＋x2 x1x2 x2－3x＝0 _____ _____ x2－x－5＝0 _____ _____ 2x2＋7x－6＝0 _____ _____ 3 0 1 －5 －3 8. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积. (1)4x2＋1＝7x， x1＋x2＝______，x1x2＝______； (2)3x2－1＝0， x1＋x2＝______，x1x2＝______； (3)x2－6x＝0， x1＋x2＝______，x1x2＝______. 0 6 0 【例2】已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且满足 (x1＋x2)2＝5x1x2＋1，求m的值. 思路点拨：（1）求出方程的Δ＝b2－4ac，即可得到m的取值范围；（2）根据（1）中得到的m的取值范围，由根与系数的关系，整体代入已知可以求得m. 解：（1）∵x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（－4）2－4×1×（－2m＋5）＞0. ∴m＞. （2）∵x1，x2是该方程的两个实数根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5. ∵(x1＋x2)2＝5x1x2＋1， ∴42＝5（－2m＋5）＋1. ∴m＝1.满足m>.故m的值为1. 9. （原创题）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋m＋1＝0. （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值. （1）证明：∵Δ＝[－（m＋2）]2－4×1×（m＋1）＝m2＋4m＋4－4m－4＝m2≥0， ∴不论m取任何实数，该方程总有两个实数根. （2）解：不妨设方程的两实数根为x1，x2， 且x1＞x2，则x1－x2＝2. ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4. 又∵x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m＋1， ∴（x1－x2）2＝(x1＋x2）2－4x1x2＝(m＋2）2 －4（m＋1）＝4. ∴m＝2或m＝－2. 故m的值为2或－2. 谢 谢 $$