第二十八章 锐角三角函数 专题三 中考新题型(内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（人教版）

数 学 教与学 学导练 教与学 学导练 数学 九年级 下册 配人教版（内文） 专题三 中考新题型 【考情讲述】 往年广东中考一般是考查特殊角的三角函数值与“仰角、俯角、方向角或坡度”有关的实际应用，而近两年的中考题除了考查特殊角的三角函数值，还重点考查了根据三角函数的定义解简单的直角三角形.2022年广东中考只有一道涉及30°角正弦值的填空题，从近三年的命题趋势看，弱化了本章知识的考查. 【中考真题】 1.（2021·广东）如图Z28－3－1，在□ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝．过点D作DE⊥AB，垂 足为E，则sin∠BCE＝______． 2.（2021·广东）如图Z28－3－2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB． （1）若AE＝1，求△ABD的周长； （2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值． 解：（1）如答图Z28－3－1， 连接BD.∴BD＝CD. ∵AB＝CE， ∴△ABD的周长为AB＋AD＋ BD＝CE＋AD＋DC＝AE＝1. （2）设AD＝x,则BD＝3x.又∵BD＝CD， ∴AC＝AD＋CD＝4x. 在Rt△ABD中，AB＝＝＝2x． ∴tan∠ABC＝＝＝． 3. (2020·湘潭)计算：sin 45°＝______. 4. (2022·广东)sin 30°＝______. 5. （2021·深圳）如图Z28－3－3，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15 m到达点E（即EF＝15 m），在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为( ) A．15sin 32° B．15tan 64° C．15sin 64° D．15tan 32° C 6. （2021·广州）如图Z28－3－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则sin∠BB′C′的值为( ) A. B． C． D． C 7. (2022·广州)如图Z28－3－5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，求点O 到AC的距离及sin∠ACD的值. 解：(1)如答图Z28－3－2. (2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6. ∴AB＝＝10.∵OD⊥AC， ∴AE＝CE＝AC＝4.又∵OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线.∴OE＝BC＝3. 由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，即点O到AC的距离为3. 在Rt△CDE中，DE＝OD－OE＝5－3＝2，CE＝4， ∴CD＝＝＝2. ∴sin∠ACD＝＝＝. 8. (创新变式)如图Z28－3－6，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°. (1)在AB边上求作点D，连接CD，使得∠CDB＝2∠A(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，当AB＝10，BC＝6时，求sin∠CDB的值. 解：(1)如答图Z28－3－3，作AB的垂直平分线交AB于点D，则D为AB的中点. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝AB. ∴∠ACD＝∠A. ∴∠CDB＝∠ACD＋∠A＝2∠A. (2)如答图Z28－3－4，作BE⊥CD于点E.∵AB＝10， ∴由(1)知CD＝AD＝BD＝AB＝5. 设DE＝x，则CE＝CD－DE＝5－x. 在Rt△BDE中，BE2＝BD2－DE2＝52－x2. 在Rt△BCE中，BE2＝BC2－CE2＝62－(5－x)2. ∴52－x2＝62－(5－x)2.解得x＝1.4. ∴DE＝1.4. ∴BE＝＝＝4.8. ∴sin∠CDB＝ 9. （2020·广东）如图Z28－3－7①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD． （1）求证：直线CD与⊙O相切； （2）如图Z28－3－7②，记（1）中的切点为E，P为ABE上一点，AD＝1， BC＝2．求tan∠APE的值． （1）证明：如答图Z28－3－5，过点O作OE⊥CD于点E，则∠OEC＝90°.∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠OBC＝180°－∠DAB＝90°.∴∠OEC＝∠OBC. ∵CO平分∠BCD，∴∠OCE＝∠OCB. 在△OCE和△OCB中， ∴△OCE≌△OCB（AAS）.∴OE＝OB. 又∵OE⊥CD，∴直线CD与⊙O相切. （2）解：如答图Z28－3－6，过点D作DF⊥BC于点F，连接BE，则四边形ABFD是矩形. ∴AB＝DF，BF＝AD＝1.∴C