第74-76课时 解直角三角形的应用(内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（人教版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·九年级·下册·配人教版（内文） 第二十八章 锐角三角函数 第74课时 解直角三角形的应用(一) 1.计算：sin 60°＝_____． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则∠B＝______，AB＝______，AC＝______. 60° 4 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：(1)建立______：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)解__________________； (3)得到数学问题的答案； 知识点一：“一个仰角或俯角”的类型 模型 直角三角形 (4)得到实际问题的答案.解决只有一个仰角(视线在水平线______方的角)或俯角(视线在水平线______方的角)的问题，可以利用锐角三角函数的定义和勾股定理求解，若无直角三角形，则可以作辅助线构造直角三角形. 上 下 3. 如图28－74－1，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为(用含α的代数式表示)( ) A. 2sin α B. 2tan α C. 2cos α D. B 解决含有两个仰角或俯角的问题，一般可建立“双直角三角形(两个直角三角形在公共直角边的同侧或异侧，而另外两条直角边在同一条直线上)”模型，可设公共直角边为x，将另外两条直角边分别用x表示出来，并利用它们的________建立方程求解. 知识点二：“两个仰角或俯角”的类型 和、差 4. 如图28－74－2，在C处测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，向旗杆前进10 m到达D处，在D处测得A的仰角为60°，则旗杆的高为( ) A．（5＋3）m B．10 m C．5 m D．（5＋5）m C 【例1】为了测量某建筑物BE的高度(如图28－74－3)，小明在离建筑物15 m(即DE＝15 m)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高1.8 m（即AD＝1.8 m），求建筑物BE的高度. 思路点拨：过点A作AC⊥BE于点C， 则AC＝DE，在Rt△ABC中，可以用正 切求BC的长，再计算BE＝BC＋CE即可. 解：如答图28－74－1，过点A作AC⊥BE于点C， 则AC＝DE＝15 m，CE＝AD＝1.8 m. 在Rt△ABC中，BC＝AC·tan 45°＝15(m)， 则BE＝BC＋CE＝16.8(m). 答：建筑物BE的高度是16.8 m. 5. 如图28－74－4，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5 m，求这棵树的高度. (结果保留一位小数，参考数据： sin 54°≈0.809 0， cos 54°≈0.587 8， tan 54°≈1.376 4) 解：如答图28－74－3，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5 m. 在 Rt△ACD中，CD＝EB＝10 m， ∠ACD＝54°. ∵tan∠ACD＝， ∴AD＝CD·tan∠ACD≈10×1.376 4＝13.764(m). ∴AB＝AD＋BD＝13.764＋1.5≈15.3(m). 答：这棵树的高度AB约为15.3 m. 【例2】(RJ九下P75例4改编)如图28－74－5，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为180 m，这栋楼有多 高?(结果取整数， 参考数据：≈1.73) 思路点拨：过点A作AD⊥BC于点D， 用正切函数分别求得BD和CD的长即可． 解：如答图28－74－2，过点A作AD⊥BC于点D. 由题意可得，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°， AD＝180 m，∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝180 m， ∴BD＝AD·tan 30°＝180×＝60(m). 在Rt△ADC中，∠CAD＝60°，AD＝180 m， ∴CD＝AD·tan 60°＝180(m). ∴BC＝BD＋CD＝60＋180＝240≈415(m). 答：这栋楼的高度约为415 m. 6. (创新题)如图28－74－6，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度. 已知在C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°，AC的长为1 000 m. 求隧道AB的长. (结果保留根号) 解：由题意，得∠CBO＝45°，∠CAO＝60°， 在Rt△AOC中，OA＝AC·cos∠CAO＝ 1 000×＝500（m）， ∴OC＝AC·sin∠CAO＝1 000×＝1 500（m）. 在Rt△COB中，∠CBO＝45°，