第64课时 相似三角形的性质和判定的综合(内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（人教版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·九年级·下册·配人教版（内文） 第二十七章 相似 第64课时 相似三角形的性质和判定的综合 1.如图27－64－1，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝3∶2，AE＝6 cm，则EC的长为______ cm． 4 2.如图27－64－2，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A，B，P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件是______________________． （填写一个条件即可） BP＝2CP(答案不唯一) 综合运用相似三角形的性质和判定，计算线段的长时，需要先找到图中的______三角形，利用相似三角形对应边的比相等得出________，再进一步求出线段的长度. 知识点一：相似三角形的性质和判定的综合计算 相似 比例式 3. 如图27－64－3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝3，CE＝1，那么BD的长为______. 4 方法：若要证明等积式ad＝bc,则转化为比例式 __________________________，再观察a，b(或a，c)与c，d(或b，d)是否分别在两个三角形中，如果在两个三角形中，可证明这两个三角形______，否则可转化其中的某条线段，再证明三角形相似. 知识点二：利用相似三角形证明等比式或等积式 = 相似 4. 如图27－64－4，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC， AD＝3，BD＝2，那么BF∶DE的值是______． 在圆中证明三角形相似时，要善于利用“圆心角定理”“圆周角定理” 及其推论和“圆内接四边形的对角互补”等性质，寻找到相等的______角或______角，为三角形相似创造条件. 知识点三：圆中的相似三角形 圆心 圆周 5. 如图27－64－5，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点M，且CM∶BM＝3∶2，则DM∶AM＝______. 2∶3 【例1】如图27－64－6，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD的长为______. 思路点拨：先证明△ABC∽△DAC，得出比例式，代入数据即可求出CD的长. 4 6. 如图27－64－7，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E，交DC的延长线于点F，且CF＝1， 则CE的长为______. 【例2】(RJ九下P44习题13改编)如图27－64－8，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝. (1)求∠ACB的大小； (2)求证：BC2＝BD·AB. 思路点拨：(1)根据直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；(2)用“两角法”判断△BCA∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到等积式. (1)解：∵CD是边AB上的高， ∴CD⊥AB. ∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵＝， ∴△CDA∽△BDC.∴∠A＝∠DCB. ∵∠A＋∠ACD＝90°， ∴∠DCB＋∠ACD＝90°.∴∠ACB＝90°. (2)证明：∵∠B＝∠B， ∠BCA＝∠BDC＝90°， ∴△BCA∽△BDC. ∴＝. ∴BC2＝BD·AB. 7. 如图27－64－9，已知CD⊥AB，BE⊥AC，求证：＝. 证明：∵BE⊥AC， CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△AEB∽△ADC. ∴＝.∴＝. 【例3】(RJ九下P58复习题8改编)如图27－64－10，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB于点P. (1)求证：PC2＝PA·PB； (2)若CP＝4，AB＝16，求PA，PB的长. 思路点拨：(1)连接AC，BC，易证Rt△APC∽Rt△CPB， 根据相似三角形的性质，可以证得； (2)设PA＝x，则PB＝AB－PA＝16－x，代入(1)的结论即可求得. (1)证明：如答图27－64－1， 连接AC，BC. ∵AB是直径，CD⊥AB于点P， ∴BC＝BD.∵∠CAB，∠BCP所对的圆弧相等，∴∠CAB＝∠BCP. ∴Rt△APC∽Rt△CPB. ∴ ∴PC2＝PA·PB. (2)解：∵PC2＝PA·PB，CP＝4，AB＝16， 设PA＝x，则PB＝AB－PA＝16－x. ∴(4)2＝x(16－x). 解得x1＝12，x2＝4（不合题意，舍去）. ∴PA＝12，PB＝4. 8. (创新题)如图27－64－11，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB于点P. (1)若P为OB的中点，求∠A的度数； (2)若AB＝10，CD＝8，求BP的长. 解：(1)如答图27－64－3，连接OC. ∵CD⊥AB，P为OB的中点， ∴OC＝BC. ∵OC＝OB，∴OC＝BC＝OB. ∴∠BOC＝60°. ∴